Question

Para encontrar la solución de una ecuación homogénea de segundo orden con coeficientes constantes, se encuentran las raíces de la ecuación característica asociada, de tal mane que, si dichas raíces son m y n, entonces dicha solución es de la forma:
y_h=c_1 x^m+c_2 x^n,si m es distinto de n
y_h=c_1 x^m+c_2 x^m lnx,si m = n
y_h=x^∝ (c_1 cos⁡(βlnx)+c_2 sen(βlnx)),si m y n son complejos de forma ∞+iβ.

Teniendo en cuenta lo anterior, la solución de la ecuación homogénea de la ecuación 2y^''+5y=senx es:

a. y_h=c_1 cos⁡(lnx)+c_2 sen(lnx).
b. y_h= c_1 cos√(5/2) x+c_2 sen√(5/2) x
c. y_h=c_1 x^2+c_2 x^5
d. y_h=c_1 x^(-2)+c_2 x^(-5)

Answer 1

RESPUESTA:

Tenemos inicialmente nuestra ecuación no homogénea de coeficientes indeterminados.

2y'' + 5y = sen(x)

Buscamos el polinomio asociado que tendrá la siguiente forma:

2r² + 5 = 0

Factorizando tenemos que se poseen raíces imaginarias, las cuales son:

• x₁ = 1.58i
• x₂ = -1.58 i

Entonces nuestra solución asociada será:

yh = eᵃˣ·[C₁·Cos(bx) + C₂·Sen(bx)]

En este caso a = 0 y b = 1.58, recordemos que un número imaginario se escribe como a + bi, entonces:

yh = e⁰ˣ · [C₁·Cos(1.58x) + C₂·Sen(1.58x)]

yh = [C₁·Cos(1.58x) + C₂·Sen(1.58x)]

Por tanto nuestra ecuación característica es la segunda, es la opción correcta.

Nota: √(5/2) = 1.58

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