Question

Para determinar la distancia entre dos cabañas que se encuentran en las orillas de un lago, el topógrafo se situó en el punto R. Luego caminó a cada cabaña P y midió 15.4 metros y 22.6 metros a la cabaña Q, respectivamente. Por último, midió el ángulo PRQ que resulto de 60º. ¿Cuál es la distancia entre las cabañas?

Answer 1

La distancia aproximada entre las cabañas es de 20 metros

 

Se trata de un problema trigonométrico en un triángulo cualesquiera.

Para resolver este ejercicio vamos a aplicar el teorema del coseno

Solución

¿Qué es el Teorema del Coseno?

El teorema del coseno, llamado también como ley de cosenos es una generalización del teorema de Pitágoras en los triángulos.

El teorema relaciona un lado de un triángulo cualquiera con los otros dos y con el coseno del ángulo formado por esos dos lados.

El teorema del coseno dice:

Dado un triángulo ABC cualquiera siendo α, β y γ los ángulos, y a, b y c los lados respectivamente opuestos a estos ángulos,

Entonces, se cumplen las relaciones:

$\boxed {\bold { a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 \ . \ b \ . \ c \ . \ cos(\alpha ) }}$

$\boxed {\bold { b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 \ . \ a \ . \ c \ . \ cos(\beta ) }}$

$\boxed {\bold { c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 \ . \ a \ . \ b \ . \ cos(\gamma ) }}$

Representamos la situación en un triángulo PQR en donde el vértice R representa el punto donde se sitúa el topógrafo. Donde el lado RQ (a) representa una distancia medida hasta una cabaña y la distancia del topógrafo de R a Q y el lado RP (b)  equivale a la distancia medida hasta la otra cabaña y la distancia del topógrafo de R a P. Donde ambas líneas de distancia desde el topógrafo hasta las respectivas cabañas forman un ángulo de 60°.

Donde se pide hallar cual es la distancia entre las cabañas

Hallando la distancia entre las dos cabañas

La cual está dada por el lado faltante del triángulo

Por el teorema del coseno podemos expresar

$\large\boxed {\bold { c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 \ . \ a \ . \ b \ . \ cos(\gamma ) }}$

$\large\textsf{Reemplazamos valores }$

$\boxed {\bold { c^{2} =(22.6 \ m)^{2} *( 15.4 \ m)^{2} - 2 \ . \ 22.6 \ m \ . \ 15.4 \ m \ . \ cos(60)^o }}$

$\boxed {\bold { c^{2} = 510.76 \ m^{2}+237.16\ m^{2} - 696.08 \ m^{2} \ . \ cos(60)^o }}$

$\boxed {\bold { c^{2} = 747.92 \ m^{2} - 696.08 \ m^{2} \ . \ 0.5 }}$

$\boxed {\bold { c^{2} = 747.92 \ m^{2} - 348.04 \ m^{2} }}$

$\boxed {\bold { c^{2} =399.88 \ m^{2} }}$

$\boxed {\bold {\sqrt{ c ^{2} } = \sqrt{399.88 \ m^{2} } }}$

$\boxed {\bold {c = \sqrt{ 399.88 \ m^{2} } }}$

$\boxed {\bold { c \approx 19.99699977\ m}}$

$\large\boxed {\bold { c \approx 20\ m}}$

La distancia aproximada entre las cabañas es de 20 metros

Se adjunta gráfico para mejor comprensión entre las relaciones entre los lados y los ángulos planteadas