Question

para cuántos pares ordenados (b,c) de enteros positivos ni x^2+bx+c=0 ni x^2+cx+b=0 tiene dos soluciones reales distintas? (a)4 (b)6 (c)8 (d)12 (e)16

Answer 1

Tenemos que la cantidad de pares ordenadas (b,c) de enteros positivos, para los cuales tenemos soluciones iguales, es de cuatro pares ordenados.

Por lo tanto, la opción correcta es (a)4

Planteamiento del problema

Tenemos que tomar en cuenta la expresión del discriminante de la solución de una ecuación de segundo grado, la cual está dado de la siguiente forma

                                     $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac} }{2a}$

donde el discriminante es $\Delta = b^2-4ac$ para que las soluciones de una ecuación de segundo grado sean iguales, el discriminante debe ser igual a cero, es decir $\Delta = 0$.

Vamos a plantear las siguientes dos ecuaciones

Para $x^2+bx+c = 0$ tenemos $\Delta_1 = b^2-4c = 0$ de donde despejamos $b = \sqrt{4c}$ y con $x^2+cx + b = 0$ tenemos $\Delta_2 = c^2-4b =0$

Por lo tanto, tomando el sistema de ecuaciones $\Delta_1$ y $\Delta_2$, vamos a sustituir $b = \sqrt{4c}$ en $\Delta_2$

                                        $c^2 = 4\sqrt{4c}$

                                        $c = \sqrt[3]{64} = 4$

Ahora sustituyendo en $b = \sqrt{4c}$ tenemos que $b = 4$

Esto implica que los pares ordenados (b,c) serán los siguientes

• (4,4)
• (0,0)

Si consideramos los pares $(x,y)$ como los $(y,x)$ vamos a tener cuatro pares.

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