Question

Para comprobar que el triángulo cuyos vértices son A (-5, 2), B(2, 5), C(-9, 6), es equilátero.
Comprueba que el triángulo cuyos vértices son P(4,6), Q(3,5), S(9,6), es escaleno.
con sus gráficas porfavor y gracias ​

Answer 1

Para resolver este problema recordemos que la distancia entre dos puntos A = (a,b) y B = (m,n), está dada por:

                                   $\blue{\boxed{\boldsymbol{\mathsf{\vphantom{\Big|}\ d[A,B]=\sqrt{(a-m)^2+(b-n)^2}}}\ }}$

✅ Comprobar que el triángulo cuyos vértices son A (-5, 2), B(2, 5), C(-9, 6), es equilátero.

Para determinar si el triángulo es equilátero las distancias que se forman por los tres puntos deben ser iguales, entonces

✎ Distancia de A y B

           $\begin{array}{ccccccccccc}\star \:\:\mathsf{A=(\underbrace{-5}_{\boldsymbol{\mathsf{a}}},\overbrace{2}^{\boldsymbol{\mathsf{b}}})}&&&&&&&&&&\star \:\: \mathsf{B =(\underbrace{2}_{\boldsymbol{\mathsf{m}}},\overbrace{5}^{\boldsymbol{\mathsf{n}}})}\end{array}$

                                 $\mathsf{d[A,B]=\sqrt{[(-5)-(2)]^2+[(2)-(5)]^2}}\\\\\mathsf{d[A,B]=\sqrt{(-7)^2+(-3)^2}}\\\\\mathsf{d[A,B]=\sqrt{49+9}}\\\\\boxed{\boldsymbol{\boxed{\mathsf{d[A,B]=\sqrt{58}\:u}}}}$

✎ Distancia de B y C

          $\begin{array}{ccccccccccc}\star \:\:\mathsf{B=(\underbrace{2}_{\boldsymbol{\mathsf{a}}},\overbrace{5}^{\boldsymbol{\mathsf{b}}})}&&&&&&&&&&\star \:\: \mathsf{C =(\underbrace{-9}_{\boldsymbol{\mathsf{m}}},\overbrace{6}^{\boldsymbol{\mathsf{n}}})}\end{array}$

                                 $\mathsf{d[B,C]=\sqrt{[(2)-(-9)]^2+[(5)-(6)]^2}}\\\\\mathsf{d[B,C]=\sqrt{(11)^2+(-1)^2}}\\\\\mathsf{d[B,C]=\sqrt{121+1}}\\\\\boxed{\boldsymbol{\boxed{\mathsf{d[B,C]=\sqrt{122}\:u}}}}$

✎ Distancia de C y A

           $\begin{array}{ccccccccccc}\star \:\:\mathsf{C=(\underbrace{-9}_{\boldsymbol{\mathsf{a}}},\overbrace{6}^{\boldsymbol{\mathsf{b}}})}&&&&&&&&&&\star \:\: \mathsf{A =(\underbrace{-5}_{\boldsymbol{\mathsf{m}}},\overbrace{2}^{\boldsymbol{\mathsf{n}}})}\end{array}$

                                 $\mathsf{d[C,A]=\sqrt{[(-9)-(-5)]^2+[(6)-(2)]^2}}\\\\\mathsf{d[C,A]=\sqrt{(-4)^2+(4)^2}}\\\\\mathsf{d[C,A]=\sqrt{16+16}}\\\\\boxed{\boldsymbol{\boxed{\mathsf{d[C,A]=\sqrt{32}\:u}}}}$

Concluímos  que el triángulo cuyos vértices son A (-5, 2), B(2, 5), C(-9, 6) NO FORMAN UN TRIÁNGULO EQUILÁTERO.

* La gráfica se encuentra en la Imagen N° 01

✅ Comprueba que el triángulo cuyos vértices son P(4,6), Q(3,5), S(9,6), es escaleno.

Para determinar si el triángulo es escaleno las distancias que se forman por los tres puntos deben ser todas diferentes, entonces

✎ Distancia de P y Q

              $\begin{array}{ccccccccccc}\star \:\:\mathsf{P=(\underbrace{4}_{\boldsymbol{\mathsf{a}}},\overbrace{6}^{\boldsymbol{\mathsf{b}}})}&&&&&&&&&&\star \:\: \mathsf{Q =(\underbrace{3}_{\boldsymbol{\mathsf{m}}},\overbrace{5}^{\boldsymbol{\mathsf{n}}})}\end{array}$

                                 $\mathsf{d[P,Q]=\sqrt{[(4)-(3)]^2+[(6)-(5)]^2}}\\\\\mathsf{d[P,Q]=\sqrt{(1)^2+(1)^2}}\\\\\mathsf{d[P,Q]=\sqrt{1+1}}\\\\\boxed{\boldsymbol{\boxed{\mathsf{d[P,Q]=\sqrt{2}\:u}}}}$

✎ Distancia de Q y S

           $\begin{array}{ccccccccccc}\star \:\:\mathsf{Q=(\underbrace{3}_{\boldsymbol{\mathsf{a}}},\overbrace{5}^{\boldsymbol{\mathsf{b}}})}&&&&&&&&&&\star \:\: \mathsf{R =(\underbrace{9}_{\boldsymbol{\mathsf{m}}},\overbrace{6}^{\boldsymbol{\mathsf{n}}})}\end{array}$

                                 $\mathsf{d[Q,R]=\sqrt{[(3)-(9)]^2+[(5)-(6)]^2}}\\\\\mathsf{d[Q,R]=\sqrt{(-6)^2+(-1)^2}}\\\\\mathsf{d[Q,R]=\sqrt{36+1}}\\\\\boxed{\boldsymbol{\boxed{\mathsf{d[Q,R]=\sqrt{37}:u}}}}$

✎ Distancia de S y P

           $\begin{array}{ccccccccccc}\star \:\:\mathsf{S=(\underbrace{9}_{\boldsymbol{\mathsf{a}}},\overbrace{6}^{\boldsymbol{\mathsf{b}}})}&&&&&&&&&&\star \:\: \mathsf{P =(\underbrace{4}_{\boldsymbol{\mathsf{m}}},\overbrace{6}^{\boldsymbol{\mathsf{n}}})}\end{array}$

                                 $\mathsf{d[S,P]=\sqrt{[(9)-(4)]^2+[(6)-(6)]^2}}\\\\\mathsf{d[S,P]=\sqrt{(5)^2+(0)^2}}\\\\\mathsf{d[S,P]=\sqrt{25+0}}\\\\\mathsf{d[S,P]=\sqrt{25}}\\\\\boxed{\boldsymbol{\boxed{\mathsf{d[S,P]=5\:u}}}}$

Concluímos que el triángulo cuyos vértices son P(4,6), Q(3,5), S(9,6), ES ESCALENO.

* La gráfica se encuentra en la Imagen N° 02

                                              $\boxed{\sf{{R}}\quad\raisebox{10pt}{ \sf{\red{O}} }\!\!\!\!\raisebox{-10pt}{ \sf{\red{O}} }\quad\raisebox{15pt}{ \sf{{G}} }\!\!\!\!\raisebox{-15pt}{ \sf{{G}} }\quad\raisebox{15pt}{ \sf{\red{H}} }\!\!\!\!\raisebox{-15pt}{ \sf{\red{H}} }\quad\raisebox{10pt}{ \sf{{E}} }\!\!\!\!\raisebox{-10pt}{ \sf{{E}} }\quad\sf{\red{R}}}\hspace{-64.5pt}\rule{10pt}{.2ex}\:\rule{3pt}{1ex}\rule{3pt}{1.5ex}\rule{3pt}{2ex}\rule{3pt}{1.5ex}\rule{3pt}{1ex}\:\rule{10pt}{.2ex}$