Question

Para colgar unos adornos, Julieta quiere colocar tres clavos en una pared como lo indica la figura. ¿Cuáles son las medidas de los ángulos en dónde se colocarán los clavos?

Answer 1

Las medidas de los ángulos del triángulo en donde se colocarán los clavos son aproximadamente : α ≅ 26° 56 ', β ≅ 15° 56' y γ ≅ 137° 87'

Procedimiento:

Se trata de un problema trigonométrico en un triángulo cualesquiera.

Para resolver este ejercicio vamos a aplicar el teorema del coseno

¿Qué es el Teorema del Coseno?

• El teorema del coseno, llamado también como ley de cosenos es una generalización del teorema de Pitágoras en los triángulos.

• El teorema relaciona un lado de un triángulo cualquiera con los otros dos y con el coseno del ángulo formado por esos dos lados.

El teorema del coseno dice:

Dado un triángulo ABC cualquiera siendo α, β y γ los ángulos, y a, b y c los lados respectivamente opuestos a estos ángulos,

Entonces se cumplen las siguientes relaciones:

$\boxed {\bold {c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 \ . \ a \ . \ b \ . \ cos (\gamma)}}$

$\boxed {\bold {a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 \ . \ b \ . \ c \ . \ cos (\alpha)}}$

$\boxed {\bold {b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 \ . \ a \ . \ c \ . \ cos (\beta )}}$

Estas relaciones entre los lados y los ángulos del triángulo se pueden observar en el gráfico adjunto

Nota: Se dice que es una generalización del teorema de Pitágoras porque si uno de los ángulos es recto, el triángulo es rectángulo, siendo la hipotenusa el lado opuesto a dicho ángulo y se obtiene el teorema de Pitágoras al aplicar el del coseno.

Por ejemplo, si α = 90º, entonces, la primera de las tres fórmulas anteriores queda como,

a² + b² = c²

Siendo a la hipotenusa del triángulo.

Hallando los valores de los ángulos del triángulo ABC

Hallando el valor del ángulo γ

Si

$\boxed {\bold {c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 \ . \ a \ . \ b \ . \ cos (\gamma)}}$

Podemos expresar

$\boxed{ \bold { cos (\gamma) = \frac{ a^{2} + b^{2} - c^{2} }{ 2 \ . \ a\ . \ b } }}$

Reemplazamos valores

$\boxed{ \bold { cos (\gamma) = \frac{ 10^{2} + 6^{2} - 15^{2} }{ 2 \ . \ 10\ . \ 6 } }}$

$\boxed{ \bold { cos (\gamma) = \frac{ 100 + 36 - 225 }{ 2 \ . \ 10\ . \ 6 } }}$

$\boxed{ \bold { cos (\gamma) = -\frac{ 89 }{ 120 } }}$

$\boxed{ \bold { cos (\gamma) = -0,7416 }}$

$\boxed{ \bold { (\gamma) =arccos (-0,7416) }}$

$\boxed{ \bold { (\gamma) \approx137\° 87' }}$

El valor del ángulo γ es ≅ 137° 87'

Hallando el valor del ángulo α

Si

$\boxed {\bold {a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 \ . \ b \ . \ c \ . \ cos (\alpha)}}$

Podemos expresar

$\boxed{ \bold { cos (\alpha) = \frac{ b^{2} + c^{2} - a^{2} }{ 2 \ . \ b\ . \ c } }}$

Reemplazamos valores

$\boxed{ \bold { cos (\alpha) = \frac{ 6^{2} + 15^{2} - 10^{2} }{ 2 \ . \ 6\ . \ 15 } }}$

$\boxed{ \bold { cos (\alpha) = \frac{ 36 + 225 - 100 }{ 2 \ . \ 6\ . \ 15 } }}$

$\boxed{ \bold { cos (\alpha) = \frac{ 161 }{ 180 } }}$

$\boxed{ \bold { cos (\alpha) = 0,894444 }}$

$\boxed{ \bold { (\alpha) =arccos (0,894444) }}$

$\boxed{ \bold { (\alpha) \approx 26\° 56' }}$

El valor del ángulo α es ≅ 26° 56'

Hallando el valor del ángulo β

Si

$\boxed {\bold {b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 \ . \ a \ . \ c \ . \ cos (\beta )}}$

Podemos expresar

$\boxed{ \bold { cos (\beta) = \frac{ a^{2} + c^{2} - b^{2} }{ 2 \ . \ a\ . \ c } }}$

Reemplazamos valores

$\boxed{ \bold { cos (\beta) = \frac{ 10^{2} + 15^{2} - 6^{2} }{ 2 \ . \ 10\ . \ 15 } }}$

$\boxed{ \bold { cos (\beta) = \frac{ 100 + 225 - 36 }{ 2 \ . \ 10\ . \ 15 } }}$

$\boxed{ \bold { cos (\beta) = \frac{ 289 }{ 300 } }}$

$\boxed{ \bold { cos (\beta) = 0,963333}}$

$\boxed{ \bold { (\beta) =arccos (0,963333) }}$

$\boxed{ \bold { (\beta) \approx 15\° 56' }}$

El valor del ángulo β es ≅ 15° 56'  

Observación: Este ejercicio se podría haber resuelto aplicando el teorema del seno si se hubiera hallado el valor de uno de los ángulos internos del triángulo primero por el teorema del coseno. Y buscar el valor de los 2 restantes estableciendo la relación de proporcionalidad entre los lados y los ángulos del triángulo.

Para aplicar el teorema del seno se necesita conocer dos lados y un ángulo interior opuesto a alguno de estos dos lados, o bien conocer un lado y dos ángulos, donde uno de ellos debe ser el opuesto al lado del que se sabe el valor.

Como en el ejercicio propuesto no se conoce como dato ningún ángulo interior del triángulo, sino que por el contrario hay que hallarlos, me pareció más expeditivo emplear directamente la ley del coseno.