Para cierto articulo, la ecuación de demanda es P=5 -0.001x. ¿Que valor de x , maximiza el ingreso? Si la función de costo es C=2800+x, encuentre el valor de x que maximiza la utilidad. Calcule la utilidad máxima.
Respuestas a la pregunta
Sabiendo que la demanda viene dada por P=5 -0.001x y el costo por C=2800+x. Entonces, el valor de x que maximiza la utilidad es de 2.000 unidades y la utilidad máxima es de 1.200 pesos
Considerando que podemos vender una cantidad x de artículos a un precio P=5 -0.001x con un costo total de C=2800+x . Entonces la función de utilidad viene dada por:
U(x) = (5 -0.001x)*x - (2800+x)
U(x) = 5x-0.001x^2 - (2800+x)
U(x) = 5x-0.001x^2 -2800-x
U(x) = -0.001x^2 + 4x -2800
Si queremos maximizar la función de utilidad, debemos derivarla, luego igualarla a cero para hallar los puntos críticos, y luego ver cuales son los máximos y los mínimos.
Luego:
U(x) = -0.001x^2 + 4x -2800
U'(x) = 2*(-0.001x) + 4
U'(x) = -0.002x + 4
0 = -0.002x + 4
x = 2.000, valor crítico.
Luego, averiguamos si el valor crítico es máximo o mínimo, en la segunda derivada de la funicón utilidad
U''(x) = -0.002 , como U''(x) ˂ 0 entonces U(x) tiene un máximo relativo en (2.000, U(2.000))
Luego, la utilidad máxima es de:
U(x) = -0.001*(2.000)^2 + 4*2.000 -2.800
U(x) = 1.200
La utilidad máxima que se obtiene de cierto artículo es:
- U(max) = 1200
- x = 2000 unidades
¿Qué es la utilidad?
La ganancia o utilidad se define como la diferencia entre los ingresos y los costos.
U = I - C
Siendo;
- Los ingresos son el producto del precio de la venta de un producto por la cantidad vendida.
I = p × q
- Los costos son el precio de producir cada producto por la cantidad de productos. El costo puede ser la suma de costos variables y fijos.
C = Cf + Cv
¿Cuál es la utilidad máxima?
Definir;
- Ingreso: I(x) = (5-0.001 x)x = 5x -0.001 x²
- Costo: C(x) = 2800 + x
Sustituir;
U(x) = 5x -0.001 x² - x - 2800
U(x) = -0.001 x² + 4x - 2800
Aplicar primera derivada;
U'(x) = d/dx(-0.001 x² + 4x - 2800)
U'(x) = -0.002x + 4
Igualar U'(x) a cero;
-0.002x + 4 = 0
x = 4/0.002
x = 2000
Sustituir;
U(max) = -0.001 (2000)² + 4(2000) - 2800
U(max) = 1200
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