Question

Para calcular la anchura AB de un río se elige un punto C que está en la misma orilla que A y se toman las siguientes medidas:: AC:= 67 metros, BAC = 99°, ACB = 20°. ¿Cuál es la distancia entre A y B, para poder determinar la anchura del río?

Answer 1

La distancia entre A y B que determina la anchura del río es de aproximadamente 26,20 metros                    

Procedimiento:

Se trata de un problema trigonométrico en un triángulo cualesquiera. En este caso se trata de un triángulo acutángulo.

Para resolver triángulos no rectángulos como el de este problema, emplearemos el teorema del seno- también llamado como ley de senos-

En nuestro imaginario triángulo acutángulo ABC este está conformado por el lado AC (lado b) que representa la longitud entre los dos puntos A y C donde se han efectuado las mediciones y que se encuentran ambos en la misma orilla del río, el lado BC (lado a) que equivale a la distancia desde uno de los puntos B donde se ha efectuado una medición hasta el punto C que se halla en la otra orilla del río, y el lado AB (lado c) que conforma la distancia desde el otro punto A donde se ha realizado la otra medición hasta el punto B que se ubica en la orilla opuesta del río. Y es esa la distancia que nos piden determinar.

Teorema del Seno:

El teorema del seno establece una relación de proporcionalidad existente entre las longitudes de los lados de un triángulo cualquiera con los senos de sus ángulos interiores opuestos.

Dado un triángulo ABC cualquiera con lados a, b y c y con ángulos interiores α, β y γ, siendo estos respectivamente opuestos a los lados,

Entonces se cumple la relación:

$\boxed {\bold { \frac{a}{sen (\alpha) } = \frac{b}{ sen(\beta) } = \frac{c}{ sen (\gamma) } } }$

Para aplicar el teorema del seno se necesita conocer dos lados y un ángulo interior opuesto a alguno de estos dos lados, o bien conocer un lado y dos ángulos, donde uno de ellos debe ser el opuesto al lado del que se sabe el valor.

Hallando el valor del ángulo β

Por enunciado sabemos dos de los valores de los ángulos del triángulo acutángulo. Vamos a hallar el valor del tercer ángulo del triángulo.

Como la suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a dos rectos es decir a 180°

Planteamos

$\boxed{ \bold { 180\° = 99\° + 20\° + \beta }}$

$\boxed{ \bold { \beta = 180\° - 99\° - 20\° }}$

$\boxed{ \bold { \beta = 61\° }}$

El ángulo β tiene un valor de 61°

Establecemos una relación de proporcionalidad entre los lados y los ángulos del triángulo

$\boxed {\bold { \frac{a}{sen (\alpha) } = \frac{b}{ sen(\beta) } = \frac{c}{ sen (\gamma) } } }$

Hallando el lado AB (lado c) para determinar la anchura del río

$\boxed {\bold { \frac{b}{ sen(\beta) } = \frac{c}{ sen (\gamma) } } }$

$\boxed {\bold { \frac{ 67 \ metros}{ sen(61)\° } = \frac{c}{ sen (20)\° } } }$

$\boxed {\bold { c= \frac{ 67 \ metros \ . \ sen (20)\° }{ sen(61)\° } }}$

$\boxed {\bold { c= \frac{ 67 \ metros \ . \ 0,3420201433256 }{ 0,8746197071393 } }}$

$\boxed {\bold { c= \frac{ 22,915349602815 \ metros }{ 0,8746197071393 } }}$

$\boxed {\bold { c \approx 26,20035 \ metros }}$

$\boxed {\bold { c \approx 26,20 \ metros }}$

La distancia entre los puntos A y B es de aproximadamente 26,20 metros