Question

Para calcular la altura del edificio, PQ, hemos medido los ángulos que indican la figura: Sabemos que hay un funicular para ir de S a Q, cuya longitud es de 500 m. Halla PQ​

Answer 1

La altura PQ del edificio es de aproximadamente 151.37 metros

Se trata de un problema trigonométrico que contiene a tres triángulos, por tanto:

Según la figura que se adjunta se representa la situación en tres triángulos el SRQ, el SRP y el SQP, en donde los dos primeros son rectángulos y el tercero oblicuángulo

En donde para el triángulo rectángulo SRQ el lado RQ representa la altura del acantilado, el lado SR equivale a la distancia desde la subida del funicular en S hasta la base del acantilado y el lado SQ es la longitud del funicular hasta la entrada del edificio con un ángulo de inclinación de 45° donde se conoce la magnitud de ese lado

Notamos que el triángulo rectángulo SRQ y el triángulo oblicuángulo SPQ conforman un segundo triángulo rectángulo SRP

Para este triángulo rectángulo SRP el lado SR equivale a la distancia desde la subida del funicular en S hasta la base del acantilado, el lado PR representa la altura del acantilado más la altura del edificio y el lado SP que es la distancia desde donde parte el funicular hasta el techo del edificio con un ángulo de inclinación de 55° (45° + 10°)

Donde a riesgo de insistir este triángulo rectángulo SRP contiene al triángulo oblicuángulo SPQ

Dado que lo que se pide hallar es la altura PQ del edificio y no otra cosa prescindiremos de los triángulos rectángulos y trabajaremos en el triángulo oblicuángulo SPQ para la resolución del ejercicio

Donde para este triángulo SPQ conocemos el valor del lado SQ que es la longitud del funicular hasta la entrada del edificio -donde esa distancia es la misma que la hipotenusa del triángulo SRQ- con un valor de 500 metros y se tiene el lado SP que es la distancia desde la subida del funicular en S hasta la cima del edificio y sabemos de un ángulo de 10° comprendido entre estas dos distancias. Y finalmente el lado PQ que es la altura del edificio y nuestra incógnita

Luego para resolver este problema trabajaremos en el triángulo oblicuángulo SPQ

Donde para resolver triángulos no rectángulos como este emplearemos el teorema del seno- también llamado como ley de senos-

Teorema del Seno:

Dado un triángulo ABC cualquiera con lados a, b y c y con ángulos interiores α, β y γ, siendo estos respectivamente opuestos a los lados,

Entonces se cumple la relación:

$\large\boxed { \bold { \frac{a}{ sen( \alpha )} = \frac{b}{ sen(\beta ) } = \frac{c}{sen(\gamma)} }}$

Determinamos los valores de los ángulos para el triángulo obtusángulo SPQ

Denotamos al ángulo dado por enunciado de 10° como α

$\large\boxed {\bold { \alpha = 10^o}}$

Hallamos el valor del ángulo interno en Q al cual denotamos como β

Dado que tenemos el triángulo rectángulo SRQ notable de 45°-45° los dos ángulos agudos al igual que sus catetos medirán lo mismo

Por tanto el ángulo en Q para el triángulo rectángulo SRQ es de 45° y conforma con el ángulo buscado un ángulo llano de 180° dado que son suplementarios

Se tiene

$\boxed {\bold { \beta = 180^o - 45 ^o}}$

$\large\boxed {\bold { \beta = 135^o}}$

Hallamos el valor del tercer ángulo del triángulo oblicuángulo en P al cual denotamos como γ

Por la sumatoria de los ángulos interiores de un triángulo:

Planteamos

$\boxed {\bold { 180^o = 10^o+ 135^o+ \gamma}}$

$\boxed {\bold {\gamma = 180^o - 10^o- 135^o }}$

$\large\boxed {\bold {\gamma= 35 ^o }}$

Calculamos la altura del edificio PQ empleando el teorema del seno

$\bold{\overline {PQ} = Altura \ Del \ Edificio }$

$\bold{\overline {SQ} = Longitud \ Del \ Funicular = 500 \ m }$

$\large\boxed { \bold { \frac{\overline{PQ}}{ sen( \alpha ) }= \frac{\overline{SQ} }{sen(\gamma)} }}$

$\boxed { \bold { \frac{ \overline{PQ} }{ sen(10 ^o ) } = \frac{ \overline{SQ} }{sen(35^o ) } }}$

$\boxed { \bold { \frac{ \overline{PQ} }{ sen(10 ^o ) } = \frac{ 500 \ m }{sen(35^o ) } }}$

$\boxed { \bold { \overline{PQ} = \frac{ 500 \ m \ . \ sen(10^o ) }{sen(35^o) } }}$  

$\boxed { \bold { \overline{PQ} = \frac{ 500 \ m \ . \ 0.173648177 }{ 0.573576436 } }}$

$\boxed { \bold { \overline{PQ} = \frac{ 86.82408883 }{ 0.573576436 }\ m }}$

$\boxed { \bold { \overline{PQ} \approx 151.37317 \ m }}$

$\large\boxed { \bold { \overline{PQ} \approx 151.37 \ metros }}$

La altura PQ del edificio es de aproximadamente 151.37 metros

Se adjunta gráfico para comprender las relaciones entre los ángulos y sus lados planteadas