Question

Para calcular la altura del edificio, hemos medido los ángulos que indica la figura y sabemos que hay un funicular para ir del edifico a un Supermercado, cuya longitud es de 250 metros. Recuerda hacer los procedimientos en tu cuaderno.​

Answer 1

La altura del edificio (PQ) es de 56.67 metros

Siendo correcta la cuarta opción de las presentadas

Se trata de un problema trigonométrico que contiene a tres triángulos, por tanto:

Según la figura que se adjunta se representa la situación en tres triángulos el SRQ, el SRP y el SQP, en donde los dos primeros son rectángulos y el tercero oblicuángulo

En donde para el triángulo rectángulo SRQ el lado RQ representa la altura del acantilado, el lado SR equivale a la distancia desde la subida del funicular en S -donde se encuentra el supermercado- hasta la base del acantilado y el lado SQ es la longitud del funicular hasta la entrada del edificio con un ángulo de inclinación de 30° donde se conoce la magnitud de ese lado

Notamos que el triángulo rectángulo SRQ y el triángulo oblicuángulo SPQ conforman un segundo triángulo rectángulo SRP

Para este triángulo rectángulo SRP el lado SR equivale a la distancia desde la subida del funicular en S hasta la base del acantilado, el lado PR representa la altura del acantilado más la altura del edificio y el lado SP que es la distancia desde donde parte el funicular hasta el techo del edificio con un ángulo de inclinación de 40° (30° + 10°)

Donde a riesgo de insistir este triángulo rectángulo SRP contiene al triángulo oblicuángulo SPQ

Dado que lo que se pide hallar es la altura del edificio (PQ) y no otra cosa prescindiremos de los triángulos rectángulos y trabajaremos en el triángulo oblicuángulo SPQ para la resolución del ejercicio

Donde para este triángulo SPQ conocemos el valor del lado SQ que es la longitud del funicular hasta la entrada del edificio -donde esa distancia es la misma que la hipotenusa del triángulo SRQ- con un valor de 250 metros y se tiene el lado SP que es la distancia desde la subida del funicular en S hasta la cima del edificio y sabemos de un ángulo de 10° comprendido entre estas dos distancias. Y finalmente el lado PQ que es la altura del edificio y nuestra incógnita

Luego para resolver este problema trabajaremos en el triángulo oblicuángulo SPQ

Donde para resolver triángulos no rectángulos como este emplearemos el teorema del seno- también llamado como ley de senos-

Teorema del Seno:

Dado un triángulo ABC cualquiera con lados a, b y c y con ángulos interiores α, β y γ, siendo estos respectivamente opuestos a los lados,

Entonces se cumple la relación:

$\large\boxed { \bold { \frac{a}{ sen( \alpha )} = \frac{b}{ sen(\beta ) } = \frac{c}{sen(\gamma)} }}$

Determinamos los valores de los ángulos para el triángulo obtusángulo SPQ

Denotamos al ángulo dado por enunciado de 10° como α

$\large\boxed {\bold { \alpha = 10^o}}$

Hallamos el valor del ángulo interno en Q al cual denotamos como β

Dado que tenemos el triángulo rectángulo SRQ notable de 30°-60° el otro ángulo agudo medirá 60°

Por tanto el ángulo en Q para el triángulo rectángulo SRQ es de 60° y conforma con el ángulo buscado un ángulo llano de 180° dado que son suplementarios

Se tiene

$\boxed {\bold { \beta = 180^o - 60 ^o}}$

$\large\boxed {\bold { \beta = 120^o}}$

Hallamos el valor del tercer ángulo del triángulo oblicuángulo en P al cual denotamos como γ

Por la sumatoria de los ángulos interiores de un triángulo:

Planteamos

$\boxed {\bold { 180^o = 10^o+ 120^o+ \gamma}}$

$\boxed {\bold {\gamma = 180^o - 10^o- 120^o }}$

$\large\boxed {\bold {\gamma= 50 ^o }}$

Calculamos la altura del edificio (PQ) empleando el teorema del seno

$\bold{\overline {PQ} = Altura \ Del \ Edificio }$

$\bold{\overline {SQ} = Longitud \ Del \ Funicular = 250 \ m }$

$\large\boxed { \bold { \frac{\overline{PQ}}{ sen( \alpha ) }= \frac{\overline{SQ} }{sen(\gamma)} }}$

$\boxed { \bold { \frac{ \overline{PQ} }{ sen(10 ^o ) } = \frac{ \overline{SQ} }{sen(50^o ) } }}$

$\boxed { \bold { \frac{ \overline{PQ} }{ sen(10 ^o ) } = \frac{ 250 \ m }{sen(50^o ) } }}$

$\boxed { \bold { \overline{PQ} = \frac{ 250 \ m \ . \ sen(10^o ) }{sen(50^o) } }}$

$\boxed { \bold { \overline{PQ} = \frac{ 250 \ m \ . \ 0.173648177667 }{ 0.766044443119 } }}$

$\boxed { \bold { \overline{PQ} = \frac{ 43.41204441675 }{0.766044443119 }\ m }}$

$\boxed { \bold { \overline{PQ} = 56.67039 \ m }}$

$\large\boxed { \bold { \overline{PQ} = 56.67 \ metros }}$

La altura del edificio (PQ) es de 56.67 metros

Se adjunta gráfico para comprender las relaciones entre los ángulos y sus lados planteadas