Para cada entero positivo n, mayor que 2009, generamos el número m = n³ - n. ¿Cuál es el máximo común divisor de esos infinitos m así formados?
Respuestas a la pregunta
Vamos a calcular los factores primos de los cuatro primeros "n" (2010,2011,2012,2013):
(2010)³-2010=2*3*5*7²*41*67*2011
(2011)³-2011=2³*3*5*67*503*2011
(2012)³-2012=2²*3*11*61*503*2011
(2013)³-2013=2³*3*11*19*53*61*503
Con estos resultados, comprobamos que los factores primos que se han repetido siempre han sido el 2 y el 3. Ahora, debemos comprobar que ambos números sean divisores para todo m con n>2009.
Primero, comprobaremos que 3 sea divisor por el método de inducción:
Asumamos que n³-n es divisible por 3, lo que implica que n³-n=3k donde k es un número entero.
Luego, para el número consecutivo (n+1):
(n+1)³-(n+1)=3p
n³+3n²+3n+1-n-1=3p
n³-n+3n²+3n=3p
Como n³-n=3k
3k+3n²+3n=3p
3(k+n²+n)=3p
k+n²+n=p
Como k y n son enteros, p también es entero, por lo que para n+1 se cumple también que es divisible por 3.
Entonces, si n=2010 y se cumple la primera proposición, también lo será n+1=2011 y así en adelante.
Ahora, comprobemos que 2 sea un número divisor de m utilizando el método directo:
Sea n un número par, el cual se puede representar de la forma n=2k (con k un número entero positivo). Por lo tanto:
n³-n=(2k)³-2k=4k³-2k=2(2k³-k)=2a
Como m=n³-n=2a, se demuestra entonces que m es divisible por 2 para números n pares.
Sea ahora n un número impar, el cual se puede representar de la forma n=2k+1 (con k un número entero positivo). Por lo tanto:
n³-n=(2k+1)³-(2k+1)=8k³+12k²+6k+1-2k-1=8k³+12k²+4k=2(4k³+6k²+2k)=2b
Como m=n³-n=2b, se demuestra entonces que m es divisible por 2 para números n impares.
Como se comprobó para n pares e impares, se puede decir entonces que n³-n es siempre divisible por 2.
Por lo tanto:
Como m=n³-n con n>2009 es divisible por 2 y 3, podemos decir entonces que el máximo común divisor es 2*3=6
Saludos.