Question

Para acceder a una caja fuerte se tiene 1ue introducir un numero de 10 cifras se sabe que dicho numero esta formando por 5 doses, tres 5 y 2 seis, ¿Cuantas claves diferentes se pueden formar?

Answer 1

Tarea:

Para acceder a una caja fuerte se tiene que introducir un número de 10 cifras se sabe que dicho número está formando por 5 doses, 3 cincos y 2 seises, ¿Cuántas claves diferentes se pueden formar?

Respuesta:

Pueden formarse 2.520 claves distintas

Explicación:

Esto se trata desde el apartado de Combinatoria y concretamente estamos ante un caso de permutaciones ya que se toma un número de elementos y se combinan todos entre sí.

Pero además este caso es algo peculiar y distinto porque ocurre que los elementos se repiten de modo que tenemos 5 doses, 3 cincos y 2 seises.

Para este caso particular de permutaciones existe una fórmula por factoriales que dice:

$P_n^{a,b,c...}=\dfrac{P_n}{a!*b!*c!...}$

donde "n" es el total de elementos a combinar contando con los repetidos y que en este caso serán  5+3+2 = 10 elementos así que en el numerador se colocará  Pₙ = n! = 10!

y las letras  a, b, c... corresponderán al número de veces que se repite cada elemento y que en este caso serán:

• El 2 se repite 5 veces así que ... a = 5!
• El 5 se repite 3 veces así que ... b = 3!
• El 6 se repite 2 veces así que ... c = 2!

Sustituyo en la fórmula y resuelvo:

$P_{10}^{5,3,2}=\dfrac{10!}{5!*3!*2!}=\dfrac{10*9*8*7*6*5!}{5!*3*2*1*2*1}=\dfrac{10*9*8*7*6}{3*2*2}=\dfrac{5040}{2}=2520$

Saludos.