Question

Para acceder a un edificio ubicadoen una montaña se coloca una rampa de 250 metros con un angulo de elvacion de 30°. Si el angulo de elevacion varia en 10° se ovserva la parte mas alta del edificio.Determinar la altura del edificio.​

Answer 1

La altura del edificio es de aproximadamente 56.67 metros

Se trata de un problema trigonométrico que contiene a tres triángulos, por tanto:

Según la figura que se adjunta se representa la situación en tres triángulos el SRQ, el SRP y el SQP, en donde los dos primeros son rectángulos y el tercero oblicuángulo

En donde para el triángulo rectángulo SRQ: el lado RQ representa la altura de la montaña, el lado SR equivale a la distancia desde la base de la rampa en S hasta la base de la montaña y el lado SQ es la longitud de la rampa hasta la entrada del edificio con un ángulo de elevación de 30° -donde se conoce la magnitud de ese lado-

Notamos que el triángulo rectángulo SRQ y el triángulo oblicuángulo SPQ conforman un segundo triángulo rectángulo SRP

Para este triángulo rectángulo SRP: el lado SR equivale a la distancia desde la base de la rampa en S hasta la base de la montaña, el lado PR representa la altura de la montaña más la altura del edificio y el lado SP que es la distancia desde la base de la rampa hasta el extremo superior del edificio con un ángulo de elevación de 40° (30° + 10°) - dado que el ángulo de elevación varía en 10°-

Donde a riesgo de insistir este triángulo rectángulo SRP contiene al triángulo oblicuángulo SPQ

Dado que lo que se pide hallar es la altura del edificio y no otra cosa prescindiremos de los triángulos rectángulos y trabajaremos en el triángulo oblicuángulo SPQ para la resolución del problema

Donde para este triángulo SPQ conocemos el valor del lado SQ que es la longitud de la rampa hasta la entrada del edificio -donde esa distancia es la misma que la hipotenusa del triángulo SRQ- con un valor de 250 metros y se tiene el lado SP que es la distancia desde la base de la rampa en S hasta la cima del edificio y sabemos de un ángulo de 10° comprendido entre estas dos distancias. Y finalmente el lado PQ que es la altura del edificio y nuestra incógnita

Luego para resolver este problema trabajaremos en el triángulo oblicuángulo SPQ

Donde para resolver triángulos no rectángulos como este emplearemos el teorema del seno- también llamado como ley de senos-

Teorema del Seno:

Dado un triángulo ABC cualquiera con lados a, b y c y con ángulos interiores α, β y γ, siendo estos respectivamente opuestos a los lados,

Entonces se cumple la relación:

$\large\boxed { \bold { \frac{a}{ sen( \alpha )} = \frac{b}{ sen(\beta ) } = \frac{c}{sen(\gamma)} }}$

Determinamos los valores de los ángulos para el triángulo obtusángulo SPQ

Denotamos al ángulo dado por enunciado de 10° como α

$\large\boxed {\bold { \alpha = 10^o}}$

Hallamos el valor del ángulo interno en Q al cual denotamos como β

Dado que tenemos el triángulo rectángulo SRQ notable de 30°-60° el otro ángulo agudo medirá 60°

Por tanto el ángulo en Q para el triángulo rectángulo SRQ es de 60° y conforma con el ángulo buscado un ángulo llano de 180° dado que son suplementarios

Se tiene:

$\boxed {\bold { \beta = 180^o - 60 ^o}}$

$\large\boxed {\bold { \beta = 120^o}}$

Hallamos el valor del tercer ángulo del triángulo oblicuángulo en P al cual denotamos como γ

Por la sumatoria de los ángulos interiores de un triángulo:

Planteamos:

$\boxed {\bold { 180^o = 10^o+ 120^o+ \gamma}}$

$\boxed {\bold {\gamma = 180^o - 10^o- 120^o }}$

$\large\boxed {\bold {\gamma= 50 ^o }}$

Determinamos la altura del edificio empleando el teorema del seno

$\bold{\overline {PQ} = Altura \ Del \ Edificio }$

$\bold{\overline {SQ} = Longitud \ de \ la \ Rampa = 250 \ m }$

$\large\boxed { \bold { \frac{\overline{PQ}}{ sen( \alpha ) }= \frac{\overline{SQ} }{sen(\gamma)} }}$

$\boxed { \bold { \frac{ \overline{PQ} }{ sen(10 ^o ) } = \frac{ \overline{SQ} }{sen(50^o ) } }}$

$\boxed { \bold { \frac{ \overline{PQ} }{ sen(10 ^o ) } = \frac{ 250 \ m }{sen(50^o ) } }}$

$\boxed { \bold { \overline{PQ} = \frac{ 250 \ m \ . \ sen(10^o ) }{sen(50^o) } }}$

$\boxed { \bold { \overline{PQ} = \frac{ 250 \ m \ . \ 0.173648177667 }{ 0.766044443119 } }}$

$\boxed { \bold { \overline{PQ} = \frac{ 43.41204441675 }{0.766044443119 }\ m }}$

$\boxed { \bold { \overline{PQ} \approx 56.67039 \ m }}$

$\large\boxed { \bold { \overline{PQ} \approx 56.67 \ metros }}$

La altura del edificio es de aproximadamente 56.67 metros

Se adjunta gráfico para comprender las relaciones entre los ángulos y sus lados planteadas