Question

Pamela le encomendaron determinar la cantidad de cerca necesaria para un terreno, pero

solo le indicaron las coordenadas de las esquinas del terreno, las cuales son: A(0,6), B(3,11),

C(9,10), D(10,3) y E(2,0). ¿Cuántos metros de cerca debe solicitar Pamela?, si el costo por metro

con material cuesta 120 pesos el metro. ¿Cuál sería el costo total para cercar el terreno?​

Answer 1

El perímetro del terreno pentagonal ABCDE es de 33,84 metros, luego Pamela deberá solicitar esa cantidad de metros de cerca.  El costo total para cercar el terreno pentagonal será de $ 4060,80

Procedimiento:

Se pide determinar la cantidad de cerca necesaria para un terreno de forma pentagonal y hallar el costo total del cercado, por lo tanto debemos hallar su perímetro

Dado que el polígono, -que en este caso es un pentágono irregular- se encuentra en el plano cartesiano, para poder hallar su perímetro debemos determinar el valor de sus lados

Para ello emplearemos la fórmula de la distancia entre dos puntos

La cual está dada por

$\boxed{ \bold { Distancia = \sqrt{(x_{2} - x_{1} )^{2} +(y_{2} -y_{1} )^{2} } } }$                  

Hallando la longitud del lado AB

Donde

$\boxed{\bold { A(0,6)}}$

y

$\boxed{\bold { B(3,11)}}$

$\boxed{ \bold { Distancia = \sqrt{(x_{2} - x_{1} )^{2} +(y_{2} -y_{1} )^{2} } } }$

Remplazamos los valores de los puntos en la fórmula

$\boxed{ \bold { Distancia \ AB = \sqrt{(3 - 0 )^{2} +(11 - 6)^{2} } } }$

$\boxed{ \bold { Distancia \ AB = \sqrt{3 ^{2} + \ 5^{2} } } }$

$\boxed{ \bold { Distancia \ AB = \sqrt{9 + \ 25 } } }$

$\boxed{ \bold { Distancia \ AB = \sqrt{34 } } }$

$\boxed{ \bold { Distancia \ AB = 5,83 \ metros } } }$

La longitud del lado AB es de 5,83 metros

Hallando la longitud del lado BC

Donde

$\boxed{\bold { B(3,11)}}$

y    

$\boxed{\bold { C(9,10)}}$

$\boxed{ \bold { Distancia = \sqrt{(x_{2} - x_{1} )^{2} +(y_{2} -y_{1} )^{2} } } }$

Remplazamos los valores de los puntos en la fórmula

$\boxed{ \bold { Distancia \ BC = \sqrt{(9 - 3 )^{2} +(10 - 11)^{2} } } }$

$\boxed{ \bold { Distancia \ BC = \sqrt{ 6 ^{2} + \ (-1)^{2} } } }$

$\boxed{ \bold { Distancia \ BC = \sqrt{36 + \ 1 } } }$

$\boxed{ \bold { Distancia \ BC = \sqrt{37 } } }$

$\boxed{ \bold { Distancia \ BC = 6,08 \ metros } } }$

La longitud del lado BC es de 6,08 metros

Hallando la longitud del lado CD  

Donde

$\boxed{\bold { C(9, 10 )}}$

y

$\boxed{\bold { D(10,3 )}}$

$\boxed{ \bold { Distancia = \sqrt{(x_{2} - x_{1} )^{2} +(y_{2} -y_{1} )^{2} } } }$

Remplazamos los valores de los puntos en la fórmula

$\boxed{ \bold { Distancia \ CD = \sqrt{(10 - 9 )^{2} +(3-10 )^{2} } } }$

$\boxed{ \bold { Distancia \ CD = \sqrt{1^{2} + \ (-7)^{2} } } }$

$\boxed{ \bold { Distancia \ CD = \sqrt{ 1 + 49 } } }$

$\boxed{ \bold { Distancia \ CD = \sqrt{50 } } }$

$\boxed{ \bold { Distancia \ CD = 7,07 \ metros } } }$

La longitud del lado CD es de 7,07 metros

Hallando la longitud del lado DE

Donde

$\boxed{\bold { D(10,3 )}}$

y

$\boxed{\bold { E(2,0 )}}$

$\boxed{ \bold { Distancia = \sqrt{(x_{2} - x_{1} )^{2} +(y_{2} -y_{1} )^{2} } } }$

Remplazamos los valores de los puntos en la fórmula

$\boxed{ \bold { Distancia \ DE = \sqrt{(2 - 10 )^{2} +(0-3 )^{2} } } }$

$\boxed{ \bold { Distancia \ DE = \sqrt{(-8)^{2} + \ (-3)^{2} } } }$

$\boxed{ \bold { Distancia \ DE = \sqrt{ 64 + 9 } } }$

$\boxed{ \bold { Distancia \ DE = \sqrt{73 } } }$

$\boxed{ \bold { Distancia \ DE = 8,54 \ metros } } }$

La longitud del lado DE es de 8,54 metros

Hallando la longitud del lado EA

Donde

$\boxed{\bold { E(2,0 )}}$

y

$\boxed{\bold { A(0,6)}}$

$\boxed{ \bold { Distancia = \sqrt{(x_{2} - x_{1} )^{2} +(y_{2} -y_{1} )^{2} } } }$

Remplazamos los valores de los puntos en la fórmula

$\boxed{ \bold { Distancia \ EA = \sqrt{(0 - 2 )^{2} +(6-0 )^{2} } } }$

$\boxed{ \bold { Distancia \ EA = \sqrt{(-2)^{2} + \ 6^{2} } } }$

$\boxed{ \bold { Distancia \ EA = \sqrt{ 4 + 36 } } }$

$\boxed{ \bold { Distancia \ EA = \sqrt{40 } } }$

$\boxed{ \bold { Distancia \ EA = 6,32 \ metros } } }$

La longitud del lado EA es de 6,32 metros

Ya conocemos los valores de los cinco lados del pentágono

El perímetro de una figura se halla a partir de la suma de todos sus lados

$\boxed{\bold { Per\'imetro \ Pent\'agono \ ABCDE = AB + BC + CD +DE + EA}}$

Sustituimos con los valores de los lados hallados

$\boxed{\bold { Per\'imetro \ Pent\'agono \ ABCDE = 5,83 + 6,08 + 7,07 +8,54 + 6,32 }}$

$\boxed{\bold { Per\'imetro \ Pent\'agono \ ABCDE = 33,84 \ metros }}$

El perímetro del pentágono es de 33,84 metros, por lo tanto se deberá comprar esa cantidad de material para cercar el terreno

Cálculo del costo total del cerco

El cual resolvemos mediante una regla de tres simple directamente proporcional

$\boxed{\bold { 1 \ metro \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 120}}$

$\boxed{\bold { 33,84 \ metros \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x}}$

$\boxed{\bold { x = \frac{33,84 \ metros \ .\ \ \ 120}{ 1 \ metro } }}$

$\boxed{\bold { x =\ \ 4060,80 }}$

El costo total para cercar el terreno pentagonal será de $ 4060,80