Question

P(x)=
P (x) + Q (x)=​

Answer 1

14 UNIDAD I. A modo de repaso. Preliminares 2 Polinomios
Un polinomio de grado n es una expresio ́n de la forma 2n
P(x)=a0+a1x+a2x +···+anx.
Los nu ́meros ai, i = 0, 1, 2, . . . , n, se llaman coeficientes del polinomio.
2.1 Suma y resta de polinomios
La suma (resta) de dos polinomios P (x) y Q(x) es un nuevo polinomio en el que el coeficiente de xi, con i = 0, 1, . . . , n, se obtiene como suma (resta) de los coeficientes correspondientes a la misma potencia xi en los polinomios P(x) y Q(x).
Ejemplo 2.1 Calcular P (x) + Q(x), siendo
32 42
P(x)=3x +2x −4x+3 y Q(x)=4x −4x +4x+12. Sumando los coeficientes que corresponden a las mismas potencias se tiene que
P(x)+Q(x) = 4x +3x −2x
2.2 Multiplicacio ́n de polinomios
+15.
432
Para multiplicar polinomios se multiplica cada uno de los elementos de uno de ellos por todos los del otro y a continuacio ́n se suman los t ́erminos correspondientes a potencias iguales.
Ejemplo 2.2 Calcula el producto de los polinomios P(x)=x+2 y Q(x)=3x −1.
El polinomio P (x) · Q(x) se obtendr ́ıa de la siguiente forma:
2 3
3x 6x
2
−1 x +2
−2 3x +6x −x −2
3x
−x
2
32

§2. Polinomios
2.3 Divisio ́n de polinomios
15
Supongamos que queremos dividir el polinomio A(x) = 3x − 5x + x − 3 entre el polinomio B(x) = x2 +1. Para ello dividimos el primer t ́ermino de A(x), es decir, 3x4, entre el primero
22
de B(x), es decir, x . De esta forma se obtiene el primer t ́ermino del cociente, 3x . A continuacio ́n se multiplica 3x2 por el divisor y se resta al dividendo, obteni ́endose as ́ı el primer dividendo parcial. La operacio ́n se repite hasta obtener un dividendo parcial con grado inferior al del divisor. Notar, por otra parte, como para que sea posible una divisio ́n de polinomios, el grado del polinomio que se divide ha de ser mayor o igual que el grado del polinomio que hace el papel de divisor.
42
422
Ejemplo 2.3 Dividir el polinomio A(x) = 3x −5x +x−3 entre el polinomio B(x) = x +1. Siguiendo el esquema explicado, la divisio ́n se realizar ́ıa en la forma:
3x4 0 −5x2 +x −3 42
|x2+1 2
−3x −3x
−8x2 +x −3
3x −8
8x2 +8 x +5
2.4 Ra ́ıcesdeunpolinomio
Se dice que a es una ra ́ız del polinomio P (x) si P (a) = propiedades:
0. Es interesante conocer las siguientes • El nu ́mero de ra ́ıces reales de un polinomio es inferior o igual a su grado.
• Si a ̸= 0 es una ra ́ız de un polinomio P (x), entonces a es divisor del t ́ermino indepen- diente del polinomio P(x).
• Si a es una ra ́ız de un polinomio P (x), entonces (x − a) es un factor del polinomio P (x), es decir, la divisio ́n de P (x) entre (x − a) es exacta.
• Descomposicio ́n factorial: Si r1, r2, . . . , rn son las ra ́ıces de un polinomio P (x), entonces
P (x) = an(x − r1)(x − r2) · · · (x − rn).

16 UNIDAD I. A modo de repaso. Preliminares 2.5 Ejercicios Propuestos
Ejercicio 14. Realiza las siguientes operaciones con polinomios: 2 2 1
(a) (x −5x+1)−(x+3) x + 2 . 2
(b) (2x+1) . 2
(c) (2x−1) .
(d) (2x+1)(2x−1).
322
(e) (6x −7x −5) : (2x −x).
32
0, −1, 3, 5, 7 9 y 11. Expresa el polinomio P(x) descompuesto factorialmente.
Ejercicio 16. Halla las ra ́ıces de los polinomios: 1
Ejercicio 15. Dado el polinomio P (x) = 2x − 4x − 6x, determina cu ́ales de los siguientes valores son ra ́ıces de P (x) :
(a)P(x)=3x(x−2) x+2 ; (b)Q(x)=(x−1). Ejercicio 17. Descomp ́on factorialmente los polinomios:
2
(a) P(x)=x −9.
(b) Q(x)=(−x2 +2x+3)(x−3).
(c) R(x) = 3x + 3x .
54
Ejercicio 18. Calcula el m ́aximo comu ́n divisor y el m ́ınimo comu ́n mu ́ltiplo de los polino- mios P(x), Q(x) y R(x) del ejercicio anterior.
3