Question

Organizador visual de progresiones geometricas

Answer 1

Respuesta:hay abajo esta

Explicación paso a paso:

Answer 2

Una progresión es una secuencia o sucesión de términos con un patrón específico.

En el caso de las progresiones geométricas, también llamadas progresiones exponenciales, esta secuencia se logra porque cada término de la misma se obtiene multiplicando el valor del término anterior por una cantidad constante. Este número fijo, por el cual se multiplica cada término para obtener el siguiente, se llama razón.

- Construyendo una progresión

Se puede expresar entonces que, un progresión geométrica es una secuencia de términos,

$a_{1},a_{2},a_{3},a_{4},...,a_{n}$

en la que , $a_{n}=a_{n-1}*r$, donde

donde $a_{n}$ es un término cualquiera (diferente al primero),

$a_{n-1}$ es el término anterior a este, y

$r$ es la razón.

Ejem: construyamos la progresión geométrica para un primer término 2 y razón 3

$a_{1}=2\\a_{2}=a_{1}*r=2*3=6\\a_{3}=a_{2}*r=6*3=18\\a_{4}=a_{3}*r=18*3=54$

y así sucesivamente.

De la misma forma, si tenemos una progresión determinada, podemos identificar la razón, simplemente dividiendo términos conocidos, uno entre el anterior a este. $r=\frac{a_{n}}{a_{n-1}}$

Del ejemplo anterior,

$r=\frac{a_{4}}{a_{3}} =\frac{a_{3}}{a_{2}} =\frac{a_{2}}{a_{1}} =\frac{54}{18}=\frac{18}{6} =\frac{6}{2}=3$

- Calculando el término general, o enésimo

Ahora bien, como sabemos cual es el décimo término?, o el término 50?, o el 1000?. No es necesario sacar los cálculos hasta allá, existe una forma sencilla.

sabemos que

$a_{2}=a_{1}*r=a_{1}*r^{2-1}\\\\a_{3}=a_{2}*r=a_{1}*r*r=a_{1}*r^{2}=a_{1}*r^{3-1}\\\\a_{4}=a_{3}*r=a_{2}*r*r=a_{1}*r*r*r=a_{1}*r^{3}=a_{1}*r^{4-1}$

Podemos fijarnos que para cualquier término,

$a_{n}=a_{1}*r^{n-1}$

y esta expresión nos define el término general, o término enésimo, que nos permite, conocido el primer término y la razón, calcular cualquier término de la progresión.

Si no se conoce el primer término, de la misma forma se puede demostrar que,

$a_{n}=a_{k}*r^{n-k}$

- Suma de términos de progresión geométrica

Como ya vimos,

$a_{2}=a_{1}*r\\a_{3}=a_{2}*r\\a_{4}=a_{3}*4\\...\\a_{n}=a_{n-1}*r$

Sumando todos los términos del lado izquierdo,

$S_{i}=a_{2}+a_{3}+a_{4}+...+a_{n}$

Sumando todos los términos del lado derecho,

$S_{d}=a_{1}*r+a_{2}*r+a_{3}*r+...+a_{n-1}*r=r(a_{1}+a_{2}+a_{3}+...+a_{n-1})$

Si llamamos $S$ a la sumatoria de todos los términos,

$S=a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+...+a_{n}$

Podemos darnos cuenta de que $S_{i}$  es la suma de todos los términos $S$ menos el primero $a_{1}$, y $S_{d}$ es la razón $r$ por la suma de todos los términos $S$ menos el último $a_{n}$. Además estas dos expresiones, $S_{i}=S_{d}$, deben ser iguales, de modo que

$S-a_{1}=r*(S-a_{n})\\S-a_{1}=rS-ra_{n}\\S(r-1)=ra_{n}-a_{1}\\S=ra_{n}-a_{1}/(r-1)$

dado que $a_{n}=a_{1}*r^{n-1}$

$S=\frac{ra_{1}*r^{n-1}-a_{1}}{r-1}\\\\S=\frac{a_{1}*r^{n}-a_{1}}{r-1}\\\\\\S=\frac{a_{1}(r^{n}-1)}{r-1}$

Que sería la expresión de la sumatoria de n términos de la progresión

para más sobre progresiones geométricas, brainly.lat/tarea/34684395