Question

Optimización.
Demuestra que entre todos los rectángulos que tienen determinada área el cuadrado posee el menor perímetro.​

Answer 1

Demostración de que de todos los rectángulos con un área dada el que tiene menor perímetro es un cuadrado

Optimizacion:

Área de un rectángulo:

A = xy ⇒y = A/x

Perímetro de un rectángulo:

P = 2x+2y

Sustituimos la primera ecuación en la función perímetro:

P = 2x+2A/x

Derivamos la función objetivo:

P´ = 2-  2A/x²

P´= 2(x²-A)/x²

Segunda derivada:

P" = 2A(2/x³)≥0

Como la segunda siempre es positiva

x²-A = 0

xmin =√A

Mínimo absoluto

y min = A/A∧1/2 = √A = x min

Los lasos son iguales como lo de los cuadrados