Question

Ojala alguien pueda ayudarme, el problema es el siguiente: Un sistema binario de estrellas consta de dos estrellas cada una con la misma masa del sol, que gira en torno al centro de masa común, la distancia entre ellas es la misma que la distancia entre la tierra y el sol. ¿Cuál es el tiempo de revolución en años?

Answer 1

Las dos estrellas se orbitan entre sí con un periodo de 1,41 años.

Explicación:

Si las dos estrellas se orbitan entre sí, se puede plantear que la atracción gravitatoria de una sobre la otra es compensada por la fuerza centrípeta alrededor del centro de masas común que al ser las dos de la misma masa, es la mitad de la distancia que las separa. Queda:

$m\frac{v^2}{r/2}=G\frac{m^2}{r^2}\\\\2v^2=G\frac{m}{r}$

La velocidad se puede reemplazar por la relación entre la distancia que recorren y el periodo orbital.

$2(\frac{2\pi r}{T})^2=G\frac{m}{r}\\\\\frac{8\pi^2 r^2}{T^2}=G\frac{m}{r}\\\\\frac{8\pi^2 r^3}{T^2}=Gm\\\\T=\sqrt{\frac{8\pi^2r^3}{Gm}}$

Reemplazando valores queda:

$r=1,5\times 10^{11}m\\m=2\times 10^{30}kg\\\\T=\sqrt{\frac{8\pi^2(1,5\times 10^{11}m)^3}{6,67\times 10^{-11}.2\times 10^{30}kg}}\\\\T=4,47\times 10^{7}s$

Como sabemos que un año son $3,16\times 10^{7}$ segundos queda:

$T=\frac{4,47\times 10^{7}}{3,16\times 10^{7}}=1,41a$