Question

obtenga una identidad trigonométrica para el cos 4x en términos de sin x

Answer 1

Hola!

Respuesta:

$\cos4x = 1 - 8{ \sin }^{2} x + 8{ \sin }^{4} x$

Explicación paso a paso:

∆) Solución:

$\cos(4x) = \cos(2x) + \cos(2x) \\ \cos(4x) = \cos(2x) . \cos(2x) - \sin(2x). \sin(2x) \\ \cos(4x) = {( \cos2x) }^{2} - {( \sin2x) }^{2} \\ \\ recordemos : \\ \cos2x = 1 - 2. { \sin}^{2} x \\ \sin2x = 2 \sin x. \cos x \\ \\ seguimos : \\ \cos 4x = {( \cos2x)}^{2} - {( \sin2x) }^{2} \\ \cos4x = {(1 - 2. { \sin}^{2}x) }^{2} - {(2. \sin x. \cos x )}^{2} \\ \cos4x = ( {1}^{2} - 2(2. { \sin}^{2}x) + {(2. { \sin}^{2}x)}^{2} ) - (4. { \sin}^{2} x. { \cos}^{2} x) \\ \cos4x =1 - 4.{ \sin}^{2}x + 4 .{ \sin}^{4} x - 4. { \sin}^{2} x. { \cos}^{2} x \\ \cos4x = 1 - 4. { \sin}^{2}x + 4 . { \sin}^{2}x. { \sin}^{2}x - 4. { \sin}^{2} x. { \cos}^{2} x \\ \cos4x = 1 - 4. { \sin}^{2} x(1 - { \sin}^{2}x) - 4. { \sin}^{2} x. { \cos}^{2} x \\ \\ recordemos : \\ { \sin }^{2} x + { \cos}^{2} x = 1 \\ { \cos}^{2} x = 1 - { \sin }^{2} x \\ \\ seguimos : \\ \cos4x = 1 - 4. { \sin}^{2} x(1 - { \sin}^{2}x) - 4. { \sin}^{2} x. { \cos}^{2} x \\ \cos4x = 1 - 4. { \sin}^{2} x({ \cos}^{2} x) - 4.{ \sin}^{2} x. { \cos}^{2} x \\ \cos4x = 1 - 4.{ \sin}^{2} x. { \cos}^{2} x - 4.{ \sin}^{2} x. { \cos}^{2} x \\ \cos4x = 1 - 8.{ \sin}^{2} x. { \cos}^{2} x \\ \cos4x = 1 - 8.{ \sin}^{2} x(1 - { \sin }^{2} x) \\ \cos4x = 1 - 8{ \sin }^{2} x + 8{ \sin }^{4} x$