Question

Obtenga una expresión para la suma siguiente e indique el valor de la suma cuando n=10.

(1)/(2)+(1+2)*(2)/(3)-(1+2+3)*(3)/(4)+(1+2+3+4]*(4)/(5)+...+(1+2+3+...+n)*(n)/(n+1)

Answer 1

La expresión correspondiente se obtiene a partir de un método llamado progresión matemática. Para desarrollarlo de forma más sencilla se puede trabajar término a término.

La serie (1+2+3+4+...+n) podemos decir que resulta equivalente expresarla como: $\frac{n^{2}+n}{2}$.

Es decir, cuando n vale:

n=0: $\frac{n^{2}+n}{2}=0$

n=1: $\frac{n^{2}+n}{2}=1$

n=2: $\frac{n^{2}+n}{2}=3$

n=3: $\frac{n^{2}+n}{2}=6$

n=4: $\frac{n^{2}+n}{2}=10$

La serie que corresponde a los términos $\frac{1}{2}$, $\frac{2}{3}$, $\frac{3}{4}$, $\frac{4}{5}$ puede expresarse como: $\frac{n}{n+1}$.

Es decir, cuando n vale:

n=0: $\frac{n}{n+1}=0$

n=1: $\frac{n}{n+1}=\frac{1}{2}$

n=2: $\frac{n}{n+1}=\frac{2}{3}$

n=3: $\frac{n}{n+1}=\frac{3}{4}$

Por lo tanto, la expresión total será de la forma:

• $\sum_{n=0}^{\infty} [(\frac{n^{2}+n}{2})\cdot\frac{n}{n+1}]$

Cuando n=10 se tiene que,

$\sum_{n=0}^{\infty} [(\frac{n^{2}+n}{2})\cdot\frac{n}{n+1}]\\=[(\frac{10^{2}+10}{2})\cdot\frac{10}{10+1}]\\=50$