Question

Obtenga la ecuacion general de una circunferencia sabiendo que los extremos de uno de sus diametros son los puntos A(-5:1) Y B(3:7)

Answer 1

La ecuación general de la circunferencia solicitada está dada por:

$\large\boxed{ \bold { x^{2} + y^{2}+2 x-8y-8 = 0 }}$

Llevamos el problema al plano cartesiano

Dado que el diámetro de un círculo es cualquier segmento de recta que pase por el centro del círculo y donde los puntos finales se encuentran en la circunferencia del círculo.

Los extremos dados del diámetro son los puntos A (-5, 1) y B (3,7)

Luego debemos hallar el centro del círculo, el cual al ser el radio la mitad del diámetro:

El punto central del círculo está dado por el punto medio entre los dos puntos extremos del diámetro conocidos

Por tanto

Hallamos el punto medio entre los puntos extremos A (-5,1) y B (3,7) para determinar el centro

Empleamos la fórmula del punto medio para hallar el punto medio del diámetro y con él el centro del círculo

$\large\boxed{\bold { Punto \ Medio = \left(\frac{x_{1} + x_{2} }{2}\ , \frac{y_{1} + y_{2} }{2} \right)}}$

Reemplazamos los valores para $\bold{ (x_{1} ,y_{1} ) \ y \ (x_{2} ,y_{2} )}$

$\bold{ A (-5,1) \ \ \ \ \ (x_{1},y_{1} ) }$

$\bold{ B (3,7) \ \ \ \ \ \ \ (x_{2},y_{2} ) }$

$\boxed{\bold { Punto \ Medio = \left(\frac{(-5) +3 }{2} \ , \frac{1+ 7 }{2} \right)}}$

$\boxed{\bold { Punto \ Medio = \left(\frac{-5+3 }{2} \ , \frac{1+7 }{2} \right)}}$

$\boxed{\bold { Punto \ Medio = \left(\frac{-2 }{2} \ , \ \frac{8 }{2} \right)}}$

$\large\boxed{\bold { Punto \ Medio = ( -1, \ 4) }}$

$\large\boxed{\bold { C\ ( -1, \ 4) }}$

Luego el centro del círculo está dado por el punto o par ordenado C (-1, 4)

Hallamos el radio

Siendo el radio cualquier recta que vaya desde el centro del círculo hasta un punto cualesquiera de la circunferencia

Tomamos para hallar el radio del círculo su centro -el cual determinamos en el inciso anterior- y uno de los puntos extremos dados por enunciado

Tomando entonces los puntos C (-1,4) y A (-5,1)  

Empleamos la fórmula de la distancia entre los puntos para hallar el radio del círculo

$\large\boxed{ \bold { Distancia = \sqrt{(x_{2} - x_{1} )^{2} +(y_{2} -y_{1} )^{2} } } }$

$\bold{ C (-1,4) \ \ \ \ \ (x_{1},y_{1} ) }$

$\bold{ A (-5,1) \ \ \ \ \ (x_{2},y_{2} ) }$

Reemplazamos los valores para $\bold{ (x_{1} ,y_{1} ) \ y \ (x_{2} ,y_{2} )}$

$\bold { radio = \sqrt{((-5)-(-1 )^{2} +(1-4)^{2} } }$

$\bold { radio = \sqrt{(-5+1 )^{2} +(1-4)^{2} } }$

$\bold { radio = \sqrt{(-4)^{2} +(-3)^{2} } }$

$\bold { radio = \sqrt{16\ + \ 9 } }$

$\bold { radio = \sqrt{25 } }$

$\large\boxed{ \bold { radio =5 \ u } }$

El radio del círculo es igual a 5 unidades

Hallamos la ecuación de la circunferencia solicitada

La ecuación ordinaria de la circunferencia con centro fuera del origen está dada por:

$\large\boxed{ \bold { (x-h)^2+(y-k)^2=r^{2} }}$

Donde (h, k) son las las traslaciones horizontal h y vertical k que representan el centro del círculo. Y donde la distancia entre el centro y cada punto del círculo es igual a la longitud del radio.

La variable r representa el radio del círculo, h representa la distancia X desde el origen y k representa la distancia Y desde el origen

Donde conocemos las coordenadas del centro del círculo C (-1,4) y el valor del radio de la circunferencia es de 5 unidades -hallados en los incisos anteriores-

Siendo el centro el punto:

$\bold { C \ (-1,4) \ \ (h, k)}$

Y el radio:

$\bold { radio =5 \ u }$

Luego determinamos la ecuación canónica u ordinaria de la circunferencia

Reemplazamos en la ecuación:

$\large\boxed{ \bold { (x-h)^2+(y-k)^2=r^{2} }}$

Los valores conocidos de (h, k) = C (-1,4) y radio = 5 unidades

$\bold { (x-(-1))^2+(y-(4))^2=\ \left(5 \right) ^{2} }$

$\bold { (x+1)^2+(y-4)^2=\ \left(5 \right) ^{2} }$

$\large\boxed{ \bold { (x+1)^2+(y-4)^2=25 }}$

Reescribimos en la forma de la ecuación general de la circunferencia

La ecuación general de la circunferencia se obtiene de la siguiente forma:

Se parte de la ecuación ordinaria de la circunferencia

$\large\boxed{ \bold { (x-h)^2+(y-k)^2=r^{2} }}$

Donde para obtener la ecuación general se deben desarrollar los binomios al cuadrado  

Por lo tanto podemos reescribir la ecuación general de la circunferencia como:

$\large\boxed{\bold {x^2+y^2+Ax+By+C=0}}$

Convertimos

$\large\boxed{ \bold { (x+1)^2+(y-4)^2=25 }}$

A la ecuación general de la circunferencia

$\bold { x^{2} +2 x +1+ y^{2} -8y + 16 = 25 }$

$\bold { x^{2} +2 x +1+ y^{2} -8y + 16 - 25= 0 }$

$\bold { x^{2} + y^{2}+2 x-8y +1 + 16 -25 = 0 }$

$\bold { x^{2} + y^{2}+2 x-8y +17 -25 = 0 }$

$\large\boxed{ \bold { x^{2} + y^{2}+2 x-8y-8 = 0 }}$

La circunferencia es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro, quedando determinada por su centro y el radio

Se agrega gráfico