Question

Obtenga el punto de intersección de las rectas x = 2t + 1; y = 3t + 2; z = 4t + 3 yx=
s + 2; y = 2s + 4, z = -4s - 1. Luego encuentre el plano determinado por estas rectas.​

Answer 1

Para algún valor de t y otro valor de s, de debe cumplir que:

2 t + 1 = s + 2

3 t + 2 = 2 s + 4

Es un sistema lineal de dos incógnitas.

Resolvemos: t = 0, s = - 1

Si para estos valores de t y de s se verifica la tercera coordenada, las rectas se cortan y forman un plano.

4 t + 3 = - 4 s - 1: t = 0, s = - 1; reemplazamos:

4 . 0 + 3 = - 4 (- 1) - 1 = 3

3 = 3: las rectas se cortan.

Para t = 0; x = 1, y = 2, z = 3

Punto de intersección: P(1, 2, 3)

Los coeficientes de t y de s corresponden con los vectores directores de las dos rectas. Su producto vectorial es el vector normal del plano que determinan.

n = (2, 3, 4) * (1, 2, - 4) = (- 20, 12, 1); o también (20, - 12, - 1).

Supongo que sabes calcular un producto vectorial.

La forma general del plano es A x + B y + C z + D = 0

A, B, C son las coordenadas del vector normal al plano.

Determinamos D de modo que pase por un punto de cualquiera de las rectas, por ejemplo por P(1, 2, 3)

20 . 1 - 12 . 2 - 1 . 3 + D = 0; - 7 + D = 0; o sea D = 7

La ecuación del plano es:

20 x - 12 y - z + 7 = 0

Otro punto del plano es Q(2, 4, - 1)

Verificamos que pertenece al plano:

20 . 2 - 12 . 4 - (- 1) + 7 = 40 - 48 + 8 = 0

Mateo