Obtenga el punto de intersección de las rectas x = 2t + 1; y = 3t + 2; z = 4t + 3 yx=
s + 2; y = 2s + 4, z = -4s - 1. Luego encuentre el plano determinado por estas rectas.
Respuestas a la pregunta
Para algún valor de t y otro valor de s, de debe cumplir que:
2 t + 1 = s + 2
3 t + 2 = 2 s + 4
Es un sistema lineal de dos incógnitas.
Resolvemos: t = 0, s = - 1
Si para estos valores de t y de s se verifica la tercera coordenada, las rectas se cortan y forman un plano.
4 t + 3 = - 4 s - 1: t = 0, s = - 1; reemplazamos:
4 . 0 + 3 = - 4 (- 1) - 1 = 3
3 = 3: las rectas se cortan.
Para t = 0; x = 1, y = 2, z = 3
Punto de intersección: P(1, 2, 3)
Los coeficientes de t y de s corresponden con los vectores directores de las dos rectas. Su producto vectorial es el vector normal del plano que determinan.
n = (2, 3, 4) * (1, 2, - 4) = (- 20, 12, 1); o también (20, - 12, - 1).
Supongo que sabes calcular un producto vectorial.
La forma general del plano es A x + B y + C z + D = 0
A, B, C son las coordenadas del vector normal al plano.
Determinamos D de modo que pase por un punto de cualquiera de las rectas, por ejemplo por P(1, 2, 3)
20 . 1 - 12 . 2 - 1 . 3 + D = 0; - 7 + D = 0; o sea D = 7
La ecuación del plano es:
20 x - 12 y - z + 7 = 0
Otro punto del plano es Q(2, 4, - 1)
Verificamos que pertenece al plano:
20 . 2 - 12 . 4 - (- 1) + 7 = 40 - 48 + 8 = 0
Mateo