Obtener los puntos máximos y mínimos de la función aplicando el criterio de la segunda deriva.
1.- f(x) = x∧3 + 3x − 2
2.-f(x) = −x∧3+ 3x∧2 + 9x + 1
1) f(x) = x³ + 3x - 2 ⇒ f'(x) = 3x² + 3
Al igualar a cero para obtener los puntos críticos, resulta:
3x² + 3 = 0 ⇒ 3(x²+1) = 0 ⇒ x²+1 = 0 . No existe algún valor real de x que satisfaga la ecuación x² + 1 = 0 . Entonces, no hay puntos críticos.
Se calcula la primera derivada:
f'(x) = -3x² + 6x + 9
Al igualar a cero, resulta:
-3x² + 6x + 9 = 0 ⇒ 3x² - 6x - 9 = 0 ⇒ x² - 2x - 3 = 0
Por tanto, (x - 3)(x+1) = 0 ⇒ x = 3 ó x = -1
Ahora se prueba cada uno de estos valores en la segunda derivada:
f"(x) = -6x + 6
f"(3) = -6.3 + 6 = -12 , por tanto hay un máximo en x = 3
f"(-1) = -6.(-1) + 6 = 12, por tanto hay un mínimo en x = -1
Respuestas a la pregunta
Respuesta: 1) La función no tiene puntos críticos
2) En x=3 hay un máximo . En x=-1 hay un mínimo.
Explicación paso a paso: Se calcula la primera derivada. Se iguala a cero.
1) f(x) = x³ + 3x - 2 ⇒ f'(x) = 3x² + 3
Al igualar a cero para obtener los puntos críticos, resulta:
3x² + 3 = 0 ⇒ 3(x²+1) = 0 ⇒ x²+1 = 0 . No existe algún valor real de x que satisfaga la ecuación x² + 1 = 0 . Entonces, no hay puntos críticos.
2) f(x) = -x³ + 3x² + 9x + 1
Se calcula la primera derivada:
f'(x) = -3x² + 6x + 9
Al igualar a cero, resulta:
-3x² + 6x + 9 = 0 ⇒ 3x² - 6x - 9 = 0 ⇒ x² - 2x - 3 = 0
Por tanto, (x - 3)(x+1) = 0 ⇒ x = 3 ó x = -1
Ahora se prueba cada uno de estos valores en la segunda derivada:
f"(x) = -6x + 6
f"(3) = -6.3 + 6 = -12 < 0 , por tanto hay un máximo en x = 3
f"(-1) = -6.(-1) + 6 = 12 > 0, por tanto hay un mínimo en x = -1