Question

Obtener los elementos del elipse $\frac{y^{2} }{25} + \frac{x^{2} }{5} = 1$ y bosqueje su grafica
porfavooor

Answer 1

Es una ecuación canónica

- Para identificar los elementos debes comparar tu ecuación con la fórmula de ecuación ordinaria, en este caso la fórmula de ecuación ordinaria de la Elipse:

- En una Elipse el semi eje principal es mayor que el secundario, por lo que si la abcisa (x-h)*2 está dividida entre el semi eje mayor a, la Elipse será horizontal, pero si está dividida entre el semi eje menor b, la Elipse será vertical; en tu ecuación se observa que la X está dividida entre 5 y la Y entre 25, en este caso al ser el 25 mayor que 5, se estaría dividiendo la abcisa X entre el semi eje menor, por lo que se trata de una Elipse vertical, esto es fundamental para hacer el boceto

- También se observa que no hay la presencia ni de la h ni de la k, que son las coordenadas del centro, por lo que está elipse tiene su centro en el origen de coordenadas que es (0;0), otro dato imprescindible para graficar la dichosa elipse

- Ahora para hallar los semi ejes solo hay que igualar los denominadores que ya identificamos cuál es el principal y cuál es el secundario:

a*2=25 y b*2=5

a=5 y b=√5

- Para hallar los focos hay que determinar la distancia del centro de la Elipse hacia dicho foco, a esa distancia se le denomina como c, aquí se cumple una bonita propiedad la cual es, a*2= b*2 + c*2, ahora solo reemplazamos:

(5)*2 = (√5)*2 + c*2

25 = 5 + c*2

25 - 5 = c*2

20 = c*2

por lo que c=√20 o 2√5

Ahora como es elipse vertical sumas 2√5 a ambos extremos del centro de la Elipse, gráficamente se verá mucho mejor, por ahora los focos serían:

F1(0;2√5) y F2(0;-2√5)

- El lado recto de la Elipse se determina con la fórmula

2b*2/a dónde b está elevada al cuadrado y multiplicada por 2, y a divide dicha operación, reemplazando se obtiene:

2(√5)*2/5

2(5)/5

Lado recto = 2

- Los vértices se hallan al igual que los focos, solo que envés de sumar c sumamos "a" a los extremos, para los co vértices sumamos b, por lo que nos queda:

V1(0;5) y V2(0;-5) vértices

B1(√5;0) y V2(-√5;0) covértices

- Para hallar las directrices hay que saber la distancia del centro de la Elipse hacia dicha directriz es a*2/c, por lo que reemplazamos:

(5)*2/2√5

25/2√5 que racionalizando queda 5√5/2 y al igual que los focos de la Elipse, sumamos a los extremos, pero al ser directrices, estás se representan por una ecuación, gráficamente se entiende mejor, pero las directrices serían:

y-5√5/2=0 ^ y + 5√5/2

-Luego la excentricidad que se halla dividiendo c entre a:

e=c/a, por lo que e= 2√5/5

-Finalmente la gráfica, para que se entienda muchísimo mejor