Question

Obtener la Gráfica y la Ecuación de la circunferencia, en el siguiente caso:
C (-5, -4)
r = 4

Answer 1

La ecuación de la circunferencia con centro C(-5,-4) y radio = 4 está dada por:

Expresada en la forma ordinaria:

$\large\boxed{ \bold { (x+5)^2+(y+4)^2=16 }}$

Expresada en la forma general:

$\large\boxed{ \bold { x^{2} + y^{2} +10 x+8y+25 = 0 }}$

 

Solución

Sea

La circunferencia con centro en C(-5,-4) y radio = 4

La suma de la abscisa elevada al cuadrado más la suma de la ordenada elevada al cuadrado es igual al radio al cuadrado

La ecuación ordinaria de la circunferencia está dada por:

$\large\boxed{ \bold { (x-h)^2+(y-k)^2=r^{2} }}$

Donde (h,k) son las las traslaciones horizontal h y vertical k que representan el centro del círculo. Y donde la distancia entre el centro y cada punto del círculo es igual a la longitud del radio.

La variable r representa el radio del círculo, h representa la distancia X desde el origen y k representa la distancia Y desde el origen

Reemplazamos en la ecuación de la circunferencia

$\boxed{ \bold { (x-h)^2+(y-k)^2=r^{2} }}$

Los valores conocidos de (h,k) = C(-5,-4) y radio = 4

$\boxed{ \bold { (x+5)^2+(y+4)^2=4^{2} }}$

$\large\boxed{ \bold { (x+5)^2+(y+4)^2=16 }}$

Obteniendo la ecuación ordinaria de la circunferencia

Ecuación general de la circunferencia

La ecuación general de la circunferencia se obtiene de la siguiente forma:

Se parte de la ecuación ordinaria de la circunferencia

$\large\boxed{ \bold { (x-h)^2+(y-k)^2=r^{2} }}$

Donde para obtener la ecuación general se deben desarrollar los binomios al cuadrado

Resultando en:

$\large\boxed{\bold {x^2-2ax+ a^{2}+y^2 -2by+b^{2} = r^{2} }}$

Reagrupamos los términos del siguiente modo:

$\large\boxed{\bold {x^2+y^2-2ax-2by+ a^{2} +b^{2} - r^{2} = 0 }}$

Considerando:

$\bold {A = -2a }$         $\bold {B = -2b }$        $\bold {C = a^{2}+b^{2} -r^{2} }$      

Por lo tanto podemos reescribir la ecuación general de la circunferencia como:

$\large\boxed{\bold {x^2+y^2+Ax+By+C=0}}$

Luego

Convertimos

$\large\boxed{ \bold { (x+5)^2+(y+4)^2=16 }}$

A la ecuación general de la circunferencia

Desarrollamos los binomios

$\boxed{ \bold { x^{2} +10 x +25+ y^{2} +8y + 16 = 16 }}$

$\boxed{ \bold { x^{2} +10 x +25+ y^{2} +8y + 16 -16 = 0 }}$

Ordenamos los términos de la ecuación escribiendo primero los términos que contienen la literal x y al final los términos que contienen a la literal y

$\boxed{ \bold { x^{2} + y^{2} +10 x+8y + 16 -16+25 = 0 }}$

$\boxed{ \bold { x^{2} + y^{2} +10 x+8y + \not 16 -\not 16+25 = 0 }}$

$\large\boxed{ \bold { x^{2} + y^{2} +10 x+8y+25 = 0 }}$

Habiendo obtenido la ecuación general de la circunferencia

Se agrega el gráfico solicitado como adjunto