Question

obtener la derivada de una función con desarrollo
f(x)=x^2/5+5x/6-9/x^2
necesito de su ayuda

Answer 1

Respuesta:

¿Con qué rapidez baja el nivel del agua contenida en un depósito cilíndrico si estamos vaciándole

a razón de 3000 litros por minuto?

Solución. Sea r el radio del cilindro y h la altura medidos en decímetros. Sea V.t/ el volumen

de agua, medido en litros (dcm3

), que hay en el cilindro en el tiempo t medido en minutos. La

información que nos dan es una tasa de variación

V.t C 1/  V.t/ D 3000 litros por minuto

En este tipo de ejercicios la tasa de variación se interpreta como una derivada: V 0

.t/ D 3000.

Fíjate que V.t C t0/  V.t0/ Ñ V 0

.t0/t, por lo que la interpretación es razonable. El signo

negativo de la derivada es obligado ya que el volumen disminuye con el tiempo. Como el radio

es constante pero la altura del agua depende del tiempo, tenemos

V.t/ D r 2h.t/

y deducimos V 0

.t/ D 3000 D r 2 h 0

.t/

Por tanto  h 0

.t/ D 3000 r 2

decímetros por minuto

Si expresamos las medidas en metros, entonces h 0

.t/ D 3 r 2

metros por minuto.

Observa que lo que realmente hemos calculado es:

V.t C 1/  V.t/ D r 2

.h.t C 1/  h.t// ÷ h.t C 1/  h.t/ D V.t C 1/  V.t/ r 2 D 3000 r 2

que es la tasa de variación de la altura en un intervalo de 1 minuto. Pero, como ya te he dicho,

en estos ejercicios se identifica la tasa de variación con una derivada, lo cual es, claro está, una

aproximación. ©

2. Un punto P se mueve sobre la parte de la parábola x D y  2

situada en el primer cuadrante de

forma que su coordenada x está aumentando a razón de 5cm/sg. Calcular la velocidad a la que el

punto P se aleja del origen cuando x D 9.

Solución. Sean .x.t/; y.t// las coordenadas, medidas en centímetros, del punto P en el instante

t medido en segundos. Nos dicen que y.t/ > 0 y que x.t/ D y.t/ 2

. La distancia del punto P al

origen viene dada por f .t/ D p x.

t/ 2 C y.t/ 2, por lo que

f 0

.t/ D x.t/x 0

.t/ C y.t/y 0

.t/ p x.t/ 2 C y.t/ 2

Lo que nos piden es f 0 .t0/

sabiendo que x.t0/ D 9. En tal caso ha de ser y.t0/ D 3. También

conocemos x 0

.t/ D 5 (cm/sg). Con ello es fácil deducir el valor de y

0 .t0/ D x 0 .t0/ 2y.t0/ D 5 6