Question

obtener el centro y el radio de la ecuación de la circunferencia: X²+y²+16x+18y+129=10​

Answer 1

Respuesta:

C(h,k) = C(-8,-9) y r = √26

Explicación paso a paso:

Completa cuadrados:

La ecuación de una circunferencia de origen distinto de (0,0) es:

(x-h)²+(y-k)² = r²

Donde (h,k) es el centro y r es el radio.

Entonces:

X²+y²+16x+18y+129=10

Agrupa los términos con x e y en paréntesis, y todos los números mueve los al lado derecho:

(x² + 16x) + (y² + 18y) = 10 - 129

Luego procedes a completar cuadrados en cada uno. Para hacerlos toma el coeficiente del segundo término (16 en x y 18 en y), los elevas al cuadrado y los divides en dos elevado al cuadrado: 16²/2² e 18²/2². Esas cantidades las sumas a los términos que tienes, pero también las restas, de esa forma no se altera la ecuación.

Nota: siempre que vas a completar cuadrados tomas el coeficiente del segundo término, lo elevas al cuadrado y lo divides entre 2², siempre es así para todos los casos.

(x² + 16x + 16²/2² - 16²/2²) + (y² + 18y + 18²/2² - 18²/2²) = -119

Simplificamos lo que hicimos en el paso anterior:

(x² + 16x + 64 -64) + (y² + 18y + 81 - 81) = -119

Sacamos de la agrupación al número que tenemos restando, para trabajar más fácil:

(x² + 16x + 64) -64 + (y² + 18y + 81) - 81 = -119

Luego, lo que está dentro es un trinomio cuadrado perfecto, así que factorizamos. Y mandamos todos los números a la derecha:

(x + 8)² + (y + 9)² = -119 + 64 + 81

Reducimos en el lado derecho:

(x + 8)² + (y + 9)² = 26

Recuerda la fórmula:

(x-h)²+(y-k)² = r²

Significa que ese 26 es r², así que despejamos r:

r²= 26

r= √26

Lo dejamos como √26 porque nos da decimales, así que lo dejamos indicado:

(x + 8)² + (y + 9)² = √26

Por tanto, al analizar la fórmula tenemos:

(x-h)²+(y-k)² = r²

(x + 8)² + (y + 9)² = √26

Nota: se toma como -8 y -9, porque si ves la fórmula dentro de los paréntesis hay un menos, pero en nuestra ecuación solo hay signos más. Eso significa que para que nuestra ecuación sea correcta los valores de h,k deben ser negativos. Así: (x-h)² = (x-(-8))²= (x+8)², ves, los signos se multiplican y ya nos da lo que tenemos. Así que en esa parte ten cuidado.

Entonces:

C(h,k) = C(-8,-9) y r = √26