Question

Obtén el volumen del sólido que se obtiene al hacer girar la región limitada por la curva f(x)=x^2 y las rectas x=0, y=16, alrededor del eje y

Answer 1

Lo primero que realizaremos será graficar las ecuaciones, f(x) es una parábola, x = 0 e y = 16 son dos rectas(ver imagen 1).

El área que giraremos entorno al eje y está coloreado con plomo, entonces para hallar su volumen usaremos

                              $\boxed{\blue{\sf{V=\displaystyle \int_{a}^{b}A(y)\ dy }}}\ \Rightarrow\ \sf{Cuando\ gira \ entorno\ al\ eje\ y}$

De la segunda imagen tenemos que

                                                $\begin{array}{c}\sf{A=\pi x^2}\\\\\sf{Pero\ y=x^2, entonces}\\\\\boxed{\sf{A=\pi y}}\end{array}$

Nuestros límites de la integral serán a = 0 y b = 16, (ver imagen 1)

                                               $\begin{array}{c}\\\sf{V=\displaystyle \int_a^b A(y)\ dy }\\\\\sf{V=\displaystyle \int_0^{16} \pi y\ dy }\\\\\sf{V=\displaystyle \pi\int_0^{16}y\ dy }\\\\\sf{V=\displaystyle \pi\ \dfrac{y^2}{2}\Bigg|_0^{16} }\\\\\sf{V=\displaystyle \pi\ \left(\dfrac{16^2}{2}-\dfrac{0^2}{2}\right) }\\\\\boxed{\boxed{\boldsymbol{\red{\sf{V=128\pi \ u^3}}}}}\end{array}$

Rpta. El volumen del sólido es de 128 π u³.

                                             $\boxed{\sf{{R}}\quad\raisebox{10pt}{ \sf{\red{O}} }\!\!\!\!\raisebox{-10pt}{ \sf{\red{O}} }\quad\raisebox{15pt}{ \sf{{G}} }\!\!\!\!\raisebox{-15pt}{ \sf{{G}} }\quad\raisebox{15pt}{ \sf{\red{H}} }\!\!\!\!\raisebox{-15pt}{ \sf{\red{H}} }\quad\raisebox{10pt}{ \sf{{E}} }\!\!\!\!\raisebox{-10pt}{ \sf{{E}} }\quad\sf{\red{R}}}\hspace{-64.5pt}\rule{10pt}{.2ex}\:\rule{3pt}{1ex}\rule{3pt}{1.5ex}\rule{3pt}{2ex}\rule{3pt}{1.5ex}\rule{3pt}{1ex}\:\rule{10pt}{.2ex}$