Question

Observa cada elipse. Luego, encuentra su ecuación general (p.120)

Answer 1

Son tres preguntas

Pregunta 310. Se presenta elipse con eje focal vertical (paralelo al eje y) y los siguietes puntos marcados:

Vértice superior: V₂( - 3,6)

Puntos de corte con el eje normal:B₁(6,-1) y B₂(0,1)

Respuesta: (1/9)x² + (1/25)y² + (2/3)x - (2/25)y + 1/25 = 0

Explicación:

1) Del dibujo se puede deducir el otro vértice: V₁ (-3,-4)

2) De la diferencia entre las coordenadas y de los dos vértices obtienes la longitud del lado mayor como 6 - ( - 4) = 6 + 4 = 10

Por lo tanto, 2a = 10 ⇒ a = 5

3) De la diferencia entre las coordenadas x de los puntos de corte con el eje normal obtienes la longitud del lado menor como 6 - 0 = 6.

Por tanto, 2b = 6 ⇒ b = 3

4) Las coordenadas el centro, h y k se obtienen a partir de los puntos de corte con el eje normal y con el vértice de la siguiente forma:

h = (- 6 + 0) / 2 = - 3 (también es la coordenada x de los vértices)

k = coordenada y de los puntos de corte con el eje normal = 1

Es decir, centro (h,k) = (-3,1)

5) Ahora puedes escribir la ecuación canónica de la elipse dada, cuyo eje focal es paralelo al eje y:

(x - h)² / b² + (y - k)² / a² = 1

⇒ (x  + 3)² / 9 + (y - 1)² / 25 = 1

6) Para hallar la ecuación general de la elipse, cuya forma es Ax² + By² + Dx + Ey + F = 0, expande los binomios cuadrados y efectúa las operaciones:

⇒ (1/9)x² + (1/25)y² + (2/3)x - (2/25)y + 1/25 = 0 ← respuesta

Pregunta 311. Se presenta una elipse con el eje focal paralelo al eje x (horizontal) e indicando las siguientes medidas:

eje mayor desde la coordenada x = 1 hasta x = 9.
eje menor desde la coordenada y = 2 hasta y = 6
recta que contiene al eje focal y = 4

Respuesta: (1/16)x² + (1/4)y² - (5/8)x - 2y + 73/16 = 0

Explicación:

1) longitud del eje mayor: 9 - 1 = 8

⇒ 2a = 8 ⇒ a = 4

2) longitud del eje menor: 6 - 2 = 4

⇒ 2b = 4 ⇒ b = 2

3) Coordenada y del centro y de los vértices = 4 (la misma del la recta que contiene el eje focal)

⇒ k = 4

4) Coordenada x del centro: el punto medio dentre x = 1 y x = 9

⇒ h = (9 + 1) / 2 = 5

5) Ahora puedes escribir la ecuación canónica de la elipse, conocidos h, k, a, b y que el eje focal es paralelo al eje y:

(x - h)² / a² + (y - k)² / b² = 1

⇒ (x - 5)² / 16 + (y - 4)² / 4 = 1

6) Para hallar la ecuación general de la elipse, cuya forma es Ax² + By² + Dx + Ey + F = 0, expande los binomios cuadrados y efectúa las operaciones:

⇒ (1/16)x² + (1/4)y² - (5/8)x - 2y + 73/16 = 0 ← respuesta

Pregunta 312. Se presenta la figura de una elipse con las siguientes características:

Eje focal paralelo al eje y
vértice inferior: V (-2,0)
vértice superior: V (-2,6)
centro: (-3,3)
punto de corte con el eje normal en el extremo izquierdo: (-5,3)

Respuesta: (1/4)x² + (1/9)y² + (3/2)x - (2/3)y + 9/4 = 0

Explicación:

1) longitud del eje mayor: 2a = 6 - 0 = 6  ⇒ a = 3

2) h =- 3, k = 3

3) longitud del semieje menor b = - 3 - (-5) = - 3 + 5 = 2

⇒ b = 2

4) Ahora reemplaza los valores de h, k, a y b, en la ecuacion canónica de la elipse con eje focal vertical (paralelo al eje y)

(x - h)² / b² + (y - k)² / a² = 1

(x + 3)² / 4 + (y - 3)² / 9 = 1

5) Para hallar la ecuación general de la elipse, cuya forma es Ax² + By² + Dx + Ey + F = 0, expande los binomios cuadrados y efectúa las operaciones:

⇒ (1/4)x² + (1/9)y² + (3/2)x - (2/3)y + 9/4 = 0 ← respuesta

Te invito a ver este otro ejemplo de ecuaciones de la elipse
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