Question

No he podido solucionar esta derivada, alguien podría explicarme paso a paso como resolverla?
$f(x)=\frac{(x^2-25)\sqrt{x-5}-(x^2-25)\sqrt{x+5} }{(x+5)(x-5)}$

Answer 1

Tenemos la función:

$f(x)=\frac{(x^{2}-25 )\sqrt{x-5}-(x^{2}-25)\sqrt{x+5} }{(x+5)(x-5)}$

Para que sea más facil de derivar la desarrollamos:

$\rightarrow f(x)=\frac{(x^{2}-25 )\sqrt{x-5}-(x^{2}-25)\sqrt{x+5} }{x^{2} +5x -5x-25}\\\\\rightarrow f(x)=\frac{(x^{2}-25 )\sqrt{x-5}-(x^{2}-25)\sqrt{x+5} }{x^{2}-25}\\\\\rightarrow f(x)=\frac{(x^{2}-25 )(\sqrt{x-5}-\sqrt{x+5}) }{x^{2}-25}\\\\\rightarrow f(x)=\sqrt{x-5}-\sqrt{x+5}$

Derivamos:

$\rightarrow f'(x)=\frac{d}{dx} (\sqrt{x-5}-\sqrt{x+5})$

Podemos separar las derivadas en esta función simple:

$\rightarrow f'(x)=\frac{d}{dx} (\sqrt{x-5})-\frac{d}{dx} (\sqrt{x+5})$

En ambas derivadas se aplica la regla de la cadena:

$\rightarrow f'(x)=\frac{d}{dx} ((\sqrt{x-5})(x-5))-\frac{d}{dx} ((\sqrt{x+5})(x+5))$

Para poder hacer más sencillas las derivadas, cambiamos momentáneamente por "u" y "v" el interior de los radicales:

$\rightarrow f'(x)=\frac{d}{dx} ((\sqrt{u})(x-5))-\frac{d}{dx} ((\sqrt{v})(x+5))$

Pasamos los radicales a potencias, recuerda que según las leyes de los exponentes $\bf{\sqrt[n]{x^{m}} }=x^{\frac{m}{n} }$:

$\rightarrow f'(x)=\frac{d}{dx} ((u^{\frac{1}{2} } )(x-5))-\frac{d}{dx} ((v^{\frac{1}{2} })(x+5))$

La derivada de una potencia es $\bf{\frac{d}{dx} x^{n} =nx^{n-1}}$:

$\rightarrow f'(x)=(\frac{1}{2})(u^{\frac{1}{2}-1 } )\frac{d}{dx} (x-5)-(\frac{1}{2}) (v^{\frac{1}{2}-1 })\frac{d}{dx}(x+5)$

La derivada de "x" es 1 $\bf{\frac{d}{dx} x=1}$, la derivada de una constante es 0 $\bf{\frac{d}{dx}a=0 }$:$\rightarrow f'(x)=(\frac{1}{2})(u^{\frac{1}{2}-1 } )(1-0)-(\frac{1}{2}) (v^{\frac{1}{2}-1 })(1+0)$

Desarrollamos:

$\rightarrow f'(x)=(\frac{1}{2})(u^{\frac{1}{2}-\frac{2}{2} } )(1)-(\frac{1}{2}) (v^{\frac{1}{2}-\frac{2}{2} })(1)\\\\\rightarrow f'(x)=(\frac{1}{2})(u^{-\frac{1}{2} } )(1)-(\frac{1}{2}) (v^{-\frac{1}{2} })(1)\\\\\rightarrow f'(x)=(\frac{1}{2})(\frac{1}{u^{\frac{1}{2} }} )(1)-(\frac{1}{2}) (\frac{1}{v^{\frac{1}{2} }})(1)\\\\\rightarrow f'(x)=(\frac{1}{2})(\frac{1}{\sqrt{u} } )(1)-(\frac{1}{2}) (\frac{1}{\sqrt{v} } )(1)$

Realizamos las multiplicaciones:

$\rightarrow f'(x)=(\frac{1}{2\sqrt{u} } )-(\frac{1}{2\sqrt{v} } )$

Reemplazamos "u" y "v" por lo que valían originalmente:

$\rightarrow f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x-5} } -\frac{1}{2\sqrt{x+5} }$

¡LISTO!, Ya tenemos la derivada de la función

$\bf{ = f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x-5} } -\frac{1}{2\sqrt{x+5} }}$