Question

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Answer 1

Sean $u=(x_1, y_1, z_1), v=(x_2, y_2, z_2) \in R$  y $\lambda, \mu \in \mathbb{R}$

Por hipótesis:

$x_i+z_i = 4y_i \quad i \in \{1, 2\}$

Veamos que $\lambda u +\mu v \in R$, en efecto

$\lambda u +\mu v= (\lambda x_1+\mu x_2, \lambda y_1 +\mu y_2, \lambda z_1 +\mu z_2)$

De donde

$(\lambda x_1 +\mu x_2)+(\lambda z_1 +\mu z_2 )=\lambda(x_1+z_1)+\mu(x_2+z_2)$

                                          $=\lambda(4y_1)+\mu(4y_2)\\=4(\lambda y_1 + \mu y_2)$

Lo que muestra lo buscado y por tanto $R$ es un subespacio vectorial de $\mathbb{R}^3$

Sean $u=(x_1, y_1, z_1), v=(x_2, y_2, z_2) \in S$ y  $\lambda, \mu \in \mathbb{R}$

Por hipótesis:

$2x_i+y_i = z_i \quad i \in \{1, 2\}$

Veamos que $\lambda u +\mu v \in R$, en efecto

$\lambda u +\mu v= (\lambda x_1+\mu x_2, \lambda y_1 +\mu y_2, \lambda z_1 +\mu z_2)$

De donde

$2(\lambda x_1 +\mu x_2)+(\lambda y_1 +\mu y_2 )=\lambda(2x_1+y_1)+\mu(2x_2+y_2)$

                                           $=\lambda z_1+\mu z_2$

Lo que muestra lo buscado y por tanto $S$ es un subespacio vectorial de $\mathbb{R}^3$