Necesito saber si esta Serie converge o diverge, usando el criterio de la razon y de la raiz
Respuestas a la pregunta
Respuesta: La serie converge. Ver explicación.
Explicación: Según el criterio de la razón, tenemos:
Si Lim (n→∞) [ a(n+1)/an ] < 1, la serie converge.
Si Lim (n→∞) [ a(n+1)/an ] > 1, la serie diverge
Si Lim (n→∞) [ a(n+1)/an ] = 1, el criterio no decide.
Tenemos que a(n+1) = [3(n+1) - 1]/(√2)^(n+1) = (3n+2)/(√2)^(n+1).
Entonces:
Lim (n→∞) [ a(n+1)/an ] = Lim(n→∞) [(3n+2)/(√2)^(n+1)]/[ (3n-1)/(√2)^n]
= Lim(n→∞) [(3n+2)(√2)^n]/[(3n-1)((√2)^(n+1)]
= Lim(n→∞)[ (3n+2)/(√2)(3n-1) ]
Al dividir en el numerador y denominador por
la mayor potencia de n (que es n), resulta:
3/(3√2) = 1/√2 = √2/2 ≈ 0,7 < 1 . (Serie convergente).
Según el criterio de la raíz, tenemos:
Si Lim(n→∞) [ an ]^(1/n) < 1, la serie converge.
Si Lim(n→∞) [ an ]^(1/n) > 1, la serie diverge.
Si Lim(n→∞) [ an ]^(1/n) = 1, el criterio no decide.
Al calcular el límite, resulta:
Lim(n→∞) [ an ]^(1/n) = Lim(n→∞) [(3n-1)/(√2)^n]^(1/n)
= (1/√2) . Lim(n→∞) [(3n-1)]^(1/n) ............. (*)
Se sabe que Lim(n→∞) [(3n-1)]^(1/n) = 1. En (*) queda
= (1/√2) . 1
= 1/√2
= √2/2
≈ 0,7 < 1 (La serie es convergente)