Question

necesito resolver esa forma indeterminada

Answer 1

Haber, tienes el siguiente límite,

$\lim\limits_{x\rightarrow0^{+}}{x^{\sin(x)}}$

por supuesto, el límite debe estar por la derecha, puesto que el izquierdo queda un poco impreciso....entonces, puedes hacer uso de los logaritmos, así, recordemos,

$a^{x}=e^{\ln(a^{x})}=e^{x\ln(a)}$

entonces, aplicando a nuestro ejemplo, te quedaría,

$\displaystyle\lim_{x\rightarrow0^{+}}{x^{\sin(x)}}=\lim_{x\rightarrow0^{+}}{e^{\sin(x)\ln(x)}}$

el siguiente se deduce de la continuidad de la función exponencial, podemos "subir" el límite al exponente, u otra forma de verlo es, haciendo la regla de cadena, primero calculo el límite mas interno, y luego lo adapto al límite más externo, veamos, de ésta forma,

Usando la regla de cadena lo que haces, es hallar el límite del exponencial,

 $\displaystyle\lim_{x\rightarrow0^{+}}{\sin(x)\ln(x)}=\lim_{x\rightarrow0^{+}}{\frac{\ln(x)}{\frac{1}{\sin(x)}}}$

aplicando la regla de l´hopital (aunque no sería necesario) pero bueno, entonces te quedaría,

$\displaystyle\lim_{x\rightarrow0^{+}}{\frac{\ln(x)}{\frac{1}{\sin(x)}}}=\lim_{x\rightarrow0^{+}}{\frac{\frac{1}{x}}{-\csc(x)\cot(x)}}}=\lim_{x\rightarrow0^{+}}{-\frac{\sin(x)}{x\cot(x)}}$

aplicando las propiedades de los límites tienes,

$\displaystyle-{\frac{\lim\limits_{x\rightarrow0^{+}}\sin(x)}{\lim\limits_{x\rightarrow0^{+}}x\cot(x)}}$

ahora el denominador, supongamos que no es cero, entonces, podemos desarrollar, de la siguiente manera,

$\displaystyle\lim_{x\rightarrow0^{+}}{x\cot(x)}=\lim_{x\rightarrow0^{+}}{\frac{x}{\frac{1}{\cot(x)}}}\longrightarrow_{\textrm{LHopital}}=\lim_{x\rightarrow0^{+}}{\frac{1}{\sec^{2}(x)}}=1$

entonces, uniendo con el resultado, anterio tienes que,

$\displaystyle-{\frac{\lim\limits_{x\rightarrow0^{+}}\sin(x)}{\lim\limits_{x\rightarrow0^{+}}x\cot(x)}}=-\frac{0}{1}=0$

pero ahí no termina, según la regla de la cadena, ya hallamos el límite dela parte mas interna, entonces,

$\displaystyle\lim_{x\rightarrow0^{+}}{e^{\sin(x)\ln(x)}}=e^{\lim\limits_{x\rightarrow0^{+}}{\sin(x)\ln(x)}}=e^{0}=1$

por lo tanto,

$\displaystyle\lim_{x\rightarrow0^{+}}{x^\sin(x)}=1$

y eso sería todo.

Ahora el segundo límite, ya lo hemos visto en el desarrollo de éste ejercicio...así que intentalo hacer ¿va?...como ves, jugar con los número a nuestro antojo, nos puede ayudar...

intentalo terminar ahora, y si aún tienes problemas me avisas y lo termino ¿va? .


Pista: la combinación $\dfrac{\sin(x)}{\dfrac{1}{\ln(x)}}$  si te atreves a derivar arriba y abajo, vas a mantener la indeterminación, el logaritmo natural no va a desaparecer...al contrario te va a aparecer un ogartimo cuadrado (derivada del cociente)...y eso no nos combiene, pero si jugamos con los números,

$\dfrac{\sin(x)}{\dfrac{1}{\ln(x)}}=\sin(x)\ln(x)=\dfrac{\ln(x)}{\dfrac{1}{\sin(x)}}$

y éste límite ya es mucho más amigable de derivar....aprender a jugar con los números, éste control del álgebra te va a ayudar bastante en futuros ejercicios...

Saludos y suerte ¡¡