Question

Necesito resolver algunos limites por definición lim (sen(x)/x) x-->infinito.
 por favor ayuda.

Answer 1

Veamos 

                     $L=\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{\sin x}{x}\\ \\ \texttt{Como sabemos }|\sin x|\leq 1\texttt{ entonces }\\ \\ \left|\dfrac{\sin x}{x}\right|\leq \left|\dfrac{1}{x}\right|\\ \\ \\ -\lim\limits_{x\to\infty}\left|\dfrac{1}{x}\right|\leq\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{\sin x}{x}\leq \lim\limits_{x\to\infty}\left|\dfrac{1}{x}\right|\\ \\ \\ \lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{\sin x}{x}=0$

Ahora demostremos esto mediante la definición de límite

$\texttt{Sea un }\delta\ \textgreater \ 0 \texttt{ y }|x|\ \textgreater \ \delta \texttt{ entonces tenemos}\\ \\ \hspace*{4.2cm}\left|\dfrac{1}{x}\right|\ \textless \ \dfrac{1}{\delta}\\ \\ \\ \texttt{y por otro lado }|\sin x|\leq 1\texttt{ por consiguiente }\\ \\ \\ \hspace*{3.9cm}\left|\dfrac{\sin x}{x}\right|\ \textless \ \dfrac{1}{\delta}\\ \\ \\ \texttt{haciendo }0\ \textless \ \varepsilon=\dfrac{1}{\delta}\texttt{ hemos demostrado la veracidad del l\'imite}$