Question

necesito la respuesta y procedimiento de esta integral doble​

Answer 1

Explicación:

Una de las formas de resolver es redefiniendo la integral a simple, sin embargo, se dificulta el hecho de redefinir los parámetros de evaluación. No obstante, para este caso en particular se puede resolver como dos integrales, la primera que comprende la parte interior respecto a x , la segunda sería la integración del resultado anterior respecto a y:

Solución.

$\int\limits^e_1 \: { \int\limits^1_{\ln{y}} {(x+y)} \, dx } \, dy$

$\int\limits^e_1 \: { \left[ \int\limits^1_{\ln{y}} {(x+y)} \, dx \right] } \, dy$

$\int\limits^e_1 \: { \left[ \int\limits^1_{\ln{y}} {x} \, dx + \int\limits^1_{\ln{y}} {y} \, dx \right] } \, dy$

$\int\limits^e_1 \: { \left[ \left \frac{x^{2}}{2} \right|^1_{\ln{y}} + \left y x \right|^1_{\ln{y}} \right] } \, dy$

$\int\limits^e_1 \: { \left \left[ \frac{x^{2}}{2} + y x \right] \right|^1_{\ln{y}} } \, dy$

$\int\limits^e_1 \: { \left[ \left( \frac{(1)^{2}}{2} + y (1) \right) - \left( \frac{(\ln{y})^{2}}{2} + y \ln{y} \right) \right] } \, dy$

$\int\limits^e_1 \: { \left[ \left( \frac{1}{2} + y \right) - \left( \frac{\ln^{2}{y}}{2} + y \ln{y} \right) \right] } \, dy$

$\int\limits^e_1 \: { \left[ \frac{1}{2} + y - \frac{\ln^{2}{y}}{2} - y \ln{y} \right] } \, dy$

$\int\limits^e_1 \: {\left[ y - y \ln{y} + \frac{1 - \ln^{2}{y}}{2} \right]} \, dy$

$\int\limits^e_1 \: {y} \, dy - \int\limits^e_1 \: {\left[y \ln{y} \right]} \, dy + \int\limits^e_1 \: {\left[ \frac{1 - \ln^{2}{y}}{2} \right]} \, dy$

Al solucionar nos queda:

$\left \left[ \frac{y^{2}}{2} - \frac{1}{2} ( y^{2} \ln{y} - \frac{y^{2}}{2} ) + [ y - y \ln^{2}{y} -2(y \ln{y} -y) ] \right] \right|^e_{1}$

Al realizar la evaluación nos resulta: $1.59726$

Por tanto:

$\int\limits^e_1 \: { \int\limits^1_{\ln{y}} {(x+y)} \, dx } \, dy = 1.59726$