Question

Necesito la respuesta con urgencia.
¿Por que los números entre uno y nueve, si formas el número mayor y el menor y los restas y luego sumas las cifras siempre da 18?

Ejemplos:
5-2-9/ El número mas mayor que puedes forma con ellos es el 952 y el menor es 259 si restas esos dos números: 952-259=693, por último si sumas esas tres cifras 6+9+3=18.

Otro ejemplo:
3-5-7/El número mas mayor que se puede formar es 753 y el menor es 357 si restas esos dos números: 753-357=396, si esas tres cifras las sumamos: 3+9+6=18.

Como veis ambos ejemplos dan 18 y así pasaría con todos los número entre uno y nueve, alguien me sabría decir ¿por que?

Answer 1

Veamos. Supongamos que tengamos las cifras a , b y c tales que a>b>c, donde el numeral mayor será $\overline{abc}$ y el menor será $\overline{cba}$ . Ahora restemos

$\overline{abc}-\overline{cba}=(100a+10b+c)-(100c+10b+a)\\ \\ \overline{abc}-\overline{cba}=99(a-c)$

Luego lo vemos de esta forma 

$99(a-c)=11\times 9(a-c)\\ \\ \text{Si }9(a-c)\text{ es de una cifra, entonces este es } 99\\ \\ \text{Si }9(a-c)\text{ es de dos cifras o sea }\overline{xy}\text{ entonces es }\\ \\ 11\times\overline{xy}=\overline{\left(x+\left[\dfrac{x+y}{10}\right]\right)\left(x+y-10\left[\dfrac{x+y}{10}\right]\right)y}\\ \\ \text{donde}\\ \\ \\ \left[\dfrac{x+y}{10}\right]=\begin{cases} 0&\text{si }x+y\ \textless \ 10\\ 1&\text{si }x+y\geq 10 \end{cases}$


$\text{o sea}\\ \\ 11\times\overline{xy}=\begin{cases} \overline{x(x+y)y}&\text{, si }x+y=9\\ \overline{(x+1)(x+y-10)y}&\text{, si }x+y\ \textgreater \ 9\\ \end{cases}\\ \\ \\ \text{suma de cifras de }11\times\overline{xy}\\ \\ \sum=\begin{cases} 2(x+y)&\text{, si }x+y=9\\ 2(x+y)-9&\text{, si }x+y\ \textgreater \ 9 \end{cases}\\ \\ \\ \text{como }\overline{xy}\in\{18,27,36,..., 81\}\Longrightarrow x+y=9\\ \\ \text{Por lo tanto la suma de cifras siempre es }2(x+y)=2(9)=18$