Question

Necesito la resolución de estos 2 ejercicios por favor, el primero es encontrar la trasformada de Laplace con condiciones iniciales más su inversa. Y el segundo es una ecuación de cauchy Euler

Answer 1

2)

Primero resolvamos la EDO homogénea $x^2y''+3xy'+y=0$ asumiendo que $y=x^m$

$x^2(x^m)''+3x(x^m)'+x^m=0\\ \\ x^2[m(m-1)x^{m-2}]+3x(mx^{m-1})+x^m=0\\ \\ m(m-1)x^m+3mx^m+x^m=0\\ \\ \left[m(m-1)+3m+1\right]x^m=0\\ \\ (m^2+2m+1)x^m=0\\ \\ m^2+2m+1=0\\ \\ m=-1~~~~\text{(ra\'iz doble)}\\ \\ \boxed{y=c_1x^{-1}+c_2x^{-1}\ln x}$

Luego utilizaremos variación de parámetros para resolver la EDO original. Haciendo que las constantes $c_1$ y $c_2$ sean funciones $u_1=c_1(x) ~\&~u_2=c_2(x)$, entonces tenemos


$u_1'=\dfrac{ \left|\begin{matrix} 0&x^{-1}\ln x\\ \ln^2x\cdot x^{-1}\cdot \cos(\ln x)&-x^{-2}\ln x+x^{-2} \end{matrix}\right| }{ \left|\begin{matrix} x^{-1}&x^{-1}\ln x\\ -x^{-2}&-x^{-2}\ln x+x^{-2} \end{matrix}\right| }=-x\ln^3x\cos(\ln x)\\ \\ \\ \displaystyle u_1=\int-x\ln^3x\cos(\ln x)~dx$

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$u_2'=\dfrac{ \left|\begin{matrix} x^{-1}&0\\ -x^{-2}&\ln^2x\cdot x^{-1}\cdot \cos(\ln x) \end{matrix}\right| }{ \left|\begin{matrix} x^{-1}&x^{-1}\ln x\\ -x^{-2}&-x^{-2}\ln x+x^{-2} \end{matrix}\right| }=x\ln^2x\cos(\ln x)\\ \\ \\ \displaystyle u_2=\int x\ln^2x\cos(\ln x)~dx$

Entonces la solución sería

$y=c_1x^{-1}+c_2x^{-1}\ln x+u_1x^{-1}+u_2x^{-1}\ln x\\ \\ \\ \displaystyle y=c_1x^{-1}+c_2x^{-1}\ln x-x^{-1}\int x\ln^3x\cos(\ln x)~dx+\cdots\\ \cdots+x^{-1}\ln x\int x\ln^2x\cos(\ln x)~dx$