Matemáticas, pregunta formulada por christian2991, hace 1 año

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Contestado por AspR178

Hola :D

Tema: Integración por el método de fracciones parciales.

Para poder aplicar éste método se tiene que tener en cuenta que:

$\dfrac{P(x)}{Q(x)};\:\textrm{Donde}\:Q(x)\:\textrm{tiene\:mayor\:grado\:que}\:P(x)$

Primer integral:

$\int \dfrac{x-4}{x^{3}+x^{2}-2x } dx$

Primer paso: Factorizar el denominador.

$x^{3}+x^{2}-2x \rightarrow x(x^{2}+x-2) \Rightarrow x(x+2)(x-1)$

Lo que hemos encontrado son los factores, los cuáles se usan en el segundo caso, dichos factores deben ser lineales (grado 1), aunque no siempre lo son en este ejercicio si lo es. Se separan los factores como denominador, y en el numerador se ponen variables, tales como A, B y C.

Segundo Paso: Igualar la fracción (nos olvidamos de la integral un momento).

$\dfrac{x-4}{x^{3}+x^{2}-2x }=\dfrac{A}{x}+\dfrac{B}{x+2}+\dfrac{C}{x-1} \rightarrow \textrm{Multiplicamos por}\:(x^{3}+x^{2}-2x)$

Nos queda:

$x-4=A(x^{2}+x-2)+B(x^{2}-x)+C(x^{2}+2x)\rightarrow \textrm{Agrupamos a x}$

Con agrupar a x me refiere a sacar factor común para cada grado del mismo:

$x-4=x^{2}(A+B+C)+x(A-B+2C)-2A$

Tercer paso: Igualamos lo que está en paréntesis en el lado derecho con los coeficientes de las mismas variables que están en el lado izquierdo.

$\begin{Bmatrix} A+B+C=0\rightarrow \boxed{1}\\A-B+2C=1\rightarrow \boxed{2} \\-2A=-4\rightarrow \boxed{3} \end{matrix}$

Podemos encontrar A en 3:

$-2A=-4\rightarrow A=\dfrac{-4}{-2}\Rightarrow \boxed{A=2}$

Nos damos cuenta que podemos eliminar B en 1 y 2, ya que:

$A& + B& + C& = 0\\A-B+2C=1\\-------\\\rightarrow2A+3C=1$

Encontramos a C:

$3C=1-2A\rightarrow C=\dfrac{1-2A}{3}\Rightarrow \textrm{Reemplazamos el valor de A} \\C=\dfrac{1-2(2)}{3}\rightarrow C=-\frac{3}{3} \therefore \boxed{C=-1}$

Podemos encontrar a B en la ecuación 1:

$A+B+C=0\rightarrow B=-A-C\Rightarrow \textrm{Reemplazas los valores de A y C}\\B=-(2)-(-1)\rightarrow B=-2+1\therefore \boxed{B=-1}$

Cuarto paso: Con la fracción parcial finalizada aplicamos integración, es decir:

$\int \dfrac{x-4}{x^{3}+x^{2}-2x }dx=\int\dfrac{2}{x}dx-\int\dfrac{1}{x+2}dx-\int\dfrac{1}{x-1}dx$

$\int \dfrac{x-4}{x^{3}+x^{2}-2x }dx=2\int\dfrac{dx}{x}-\int\dfrac{dx}{x+2}-\int\dfrac{dx}{x-1}$

Aquí sólo debes aplicar las fórmulas básicas de integración.

$\boxed{\boxed{\boxed{\int \dfrac{x-4}{x^{3}+x^{2}-2x }dx=2Ln$$|x|-Ln$$|x+2|-Ln$$|x-1|+C}}}$

Para la segunda integral iré de lleno, si aparece un concepto nuevo, lo explicaré :)

$\int \dfrac{6x^{2}-8x+5 }{x^{3}-x^{2}+x } dx$

Factorizamos el denominador:

$x^{3}-2x^{2}+x\rightarrow x(x^{2}-2x+1)\Rightarrow x(x-1)^{2}$

Aquí hay un cambio, debemos repetir el factor $x-1$ , la primera será elevando a la 1, y la otra será elevando a la 2:

$( \dfrac{6x^{2}-8x+5 }{x^{3}-x^{2}+x}=\dfrac{A}{x}+\dfrac{B}{(x-1)^{2} }+\dfrac{C}{x-1}) x^{3}-x^{2}+x$

$6x^{2}-8x+5=A(x^{2}-2x+1)+B(x^{2}-x)+C(x)\\6x^{2}-8x+5=(A+B)x^{2}+(-2A-B+C)x+A\\$

$\begin{Bmatrix} A+B=6\rightarrow \boxed{1}\\-2A-B+C=-8\rightarrow \boxed{2} \\\boxed{A=5}} \end{matrix}$

Encontramos a B en 1:

$B=6-A\rightarrow B=6-5\Rightarrow \boxed{B=1}$

Encontramos a C en 2:

$C=-8+2A+B\rightarrow C=-8+11\Rightarrow \boxed{C=3}$

Tendremos pues:

$\int \dfrac{6x^{2}-8x+5 }{x^{3}-x^{2}+x}dx=\int\dfrac{5}{x}dx+\int\dfrac{1}{x-1 }dx+\int\dfrac{3}{(x-1)^{2} }dx$

$\int \dfrac{6x^{2}-8x+5 }{x^{3}-x^{2}+x}dx=5\int\dfrac{dx}{x}+\int\dfrac{dx}{x-1 }+3\int\dfrac{dx}{(x-1)^{2} }$

Tal vez se te dificulte la última, te mostraré cómo se resuelve:

$\int \dfrac{dx}{(x-1)^{2} } \rightarrow \textrm{Decimos que }\:u=x-1\\\int \dfrac{dx}{u^{2} } \rightarrow \int u^{-2}dx \Rightarrow \textrm{Aplicamos la formula}\:\dfrac{u^{n+1} }{n+1}, \textrm{Siendo}\:n\:\textrm{el exponente}$