Question

necesito ayuda por favor estan dificil

Answer 1

a) $\int\limits^2_2 {x^2} \, dx$

 Sin importar cuál sea la función f(x), la integral entre "a" y "a" (en este caso a=2) de f(x) es cero. Sólo a modo de verificación, veamos su primitiva, evaluémosla en x=2, y restémosle la misma primitiva evaluada otra vez en x=2. Díficil que dé algo distinto de cero:

$F=\frac{1}{3}x^{3} \\ \\ \frac{1}{3}*2^{3}-\frac{1}{3}*2^{3}=0$


b)$\int\limits^1_{-1} {(3x^{2}+x)} \, dx$

Hallemos la primitiva de f(x)

$F=\frac{3}{3}x^{3}+ \frac{1}{2}x^{2}$

Evaluemos en los límites y restemos:

$((1)^{3}+ \frac{1}{2}(1)^{2}) -((-1)^{3}+ \frac{1}{2}(-1)^{2})= \\ \\ (1+ \frac{1}{2} )-(-1+ \frac{1}{2})= \\  \\ \frac{3}{2}+ \frac{1}{2}= \frac{4}{2}=2$ 

c) $\int\limits^3_0 {4} \, dx$

Cuya primitiva es:

$F=4x$

 Evaluemos y restemos:

$(4*(3))-(4*(0))=12-0=12$

d) Nos piden el área bajo "la curva" de una integral definida. Pero por lo que vimos hasta ahora las integrales definidas son iguales a un número, no a una curva. Por lo tanto no existe área bajo una integral definida.

 Más allá de que la pregunta queda resuleta, una aclaración. El número al que es igual la integral definida, representa al área bajo la curva de la función entre los límites de la integral. Si aún así  quiere saber cuánto vale la integral definida en cuestión:

$F= \frac{1}{4}x^{4}- \frac{2}{3}x^{3} - \frac{5}{2}x^{2}+6*x$

 Evaluemos y restemos:

$(\frac{1}{4}1^{4}- \frac{2}{3}1^{3} - \frac{5}{2}1^{2}+6*1)-(\frac{1}{4}(-1)^{4}- \frac{2}{3}(-1)^{3} - \frac{5}{2}(-1)^{2}+6(-1))= \\ \\ ( \frac{1}{4}- \frac{2}{3}+ \frac{5}{2} +6)-( \frac{1}{4}+ \frac{2}{3}- \frac{5}{2}-6)= \\ \\ \frac{3-8+30+72}{12}- \frac{3+8-30-72}{12}= \frac{97}{12}+ \frac{91}{12}= \frac{188}{12}= \frac{47}{3}$

 Ese 47/3 no es una función constante ni nada por el estilo, es el número 47/3 y como tal, sería un error creer que puede haber un área debajo suyo. Saludos!