Question

necesito ayuda por favor​

Answer 1

Explicación paso a paso: Primero repasemos la definición de continuidad.

Una función es continua en un  punto $a$ si se cumple que.

$\lim\limits_{x \to a} f(x)=f(a)$

También se puede decir que es continua si

$\lim\limits_{x \to a^-} f(x)=\lim\limits_{x \to a^+} f(x)=f(a)$

En otras palabras. Una función es continua en un punto si el límite de la función en ese punto coincide con la imagen (valor) de la funón en ese punto.

Las funciones elemetales que estudiamos son continuas en todo su dominio.

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En la primera función, vemos que es una función definida a trozos. Ambos trozos son funciones polinómicas, que, como dijimo antes, son continuas en su dominio. EL único problema que tenemos con estas funciones es estudiar la continuidad en el salto de un trozo a otro.

Vemos que esta función tiene un trozo si $x\leq 0$ y otro diferente si $x > 1$, pero no está definida para los valores menores que 1 y mayores que 0. Literalmente la función no existe en el intervalo $(0,1]$, por lo tanto no podemos estudiar su continuidad en ese intervalo

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En el segundo ejercicio, tenemos una situación similar, con dos trozos representados por funciones polinómicas. La diferencia es que la función existe en todo $\mathbb{R}$. Vamos a analizar la continuidad en el punto de salto.  Analizamos los límites laterales cuando $x\rightarrow2$

$\lim\limits_{x \to 2^-} f(x)=\lim\limits_{x \to 2^-} 2x=2\cdot 2=4\\\lim\limits_{x \to 2^+} f(x)=\lim\limits_{x \to 2^+} x+2=2+2=4$

Y la imagen de la función

$f(2)=2\cdot 2=4$

Como

$\lim\limits_{x \to 2^-} f(x)=\lim\limits_{x \to 2^+} f(x)=f(2)=4$

La función también es continua en el punto de salto y por lo tanto, la función es continua en todos los números reales