Question

Necesito ayuda con este problema porfavor :(

Answer 1

En cada caso el plano solicitado tiene como ecuación cartesiana:

a) 2x+5y-3z+4=0

b) 6x-y+5z-7=0

c) x+y-4=0

Desarrollo:

La ecuación cartesiana de un plano es la ecuación del mismo en función de las variables 'x', 'y' y 'z' y tiene la forma:

$ax+by+cz+d=0$

Donde (a,b,c) es el vector asociado al plano siendo este perpendicular al mismo.

a)  las rectas M y N están expresadas en la forma de sus ecuaciones paramétricas. En cada ecuación, los coeficientes que multiplican al parámetro son las coordenadas del vector director de la recta. EN este caso los vectores directores de M y N son:

$v_M=(-1,1,1)\\v_N=(2,-2,-2)$

Si tales rectas están  contenidas en el plano, sus vectores directores son perpendiculares al vector asociado, y además el plano contiene a todo punto de esas rectas. La forma de encontrar un vector perpendicular a dos vectores dados es el producto vectorial:

$v_Mxv_N=(-1,1,1)x(2,-2,-2)=det\left[\begin{array}{ccc}i&j&k\\-1&1&1\\2&-2&-2\end{array}\right] =i(1.(-2)-(-2).1)+j((-1)(-2)-2.1)+k((-1)(-2)-2.1)=(0,0,0)$

No se puede hallar el vector asociado por este método porque los vectores directores son paralelos. Pero las rectas M y N pasan por los puntos (1,0,2) y (-2,0,0) respectivamente (obtenido de las ecuaciones paramétricas, donde los términos independientes son las coordenadas de un punto de la recta.)

Con esos puntos puedo definir un vector:

$v_{MN}=P_MP_N=(1,0,2)-(-2,0,0)=(1-(-2),0-0,2-0)=(3,0,2)$

Con este vector vuelvo a intentar hallar el vector asociado:

$v_Mxv_{MN}=det\left[\begin{array}{ccc}i&j&k\\-1&1&1\\3&0&2\end{array}\right] =i(1.2-0.1)-j((-1).2-3.1)+k((-1).0-3.1)=(2,5,-3)$

Me queda que el plano sigue la ecuación:

$2x+5y-3z+d=0$

Los puntos de las rectas tienen que satisfacer la ecuación del plano:

$P_M=(1,0,2)=> 2.1+5.0-3.2+d=0\\d-4=0\\d=4\\\\P_N=(-2,0,0)=> 2(-2)+5.0-3.0+4=0$

Con lo que la ecuación del plano es 2x+5y-3z+4=0

b) En este caso el plano está definido por un punto y una recta definida como la intersección de dos planos. Podemos por un lado hallar el vector director de la recta como el producto vectorial de los vectores asociados a los planos que la definen como intersección:

$v_1=(1,-1,0)\\v_2=(0,0,1)\\\\v_1xv_2=det\left[\begin{array}{ccc}i&j&k\\1&-1&0\\0&0&1\end{array}\right] =i((-1).1-0.0)-j(1.1-0.0)+k(1.0-0(-1))=(-1,-1,1)=v_L$

Ese vector está contenido junto con la recta en el plano. un punto de la recta, por ejemplo con x=2 sería $P_L(2,0,-1)$, que junto con el punto A define otro vector:

$AP_L=(-1,2,3)-(2,0,-1)=(-1-2,2-0,3-(-1))=(-3,2,4)$

Que también está contenido en el plano, por lo que el vector asociado es.

$AP_Lxv_L=det\left[\begin{array}{ccc}i&j&k\\-3&2&4\\-1&-1&1\end{array}\right] =i(2.1-(-1).4)-j((-3).1-(-1).4)+k((-3)(-1)-(-1).2)=(6,-1,5)$

Ahora el punto A pertenece al plano:

6(-1)-1(2)+5(3)+d=0

-6-2+15+d=0

d=-7

Con lo cual la ecuación del plano es  6x-y+5z-7=0.

c) Es una situación análoga al punto (a) ya que contiene a dos rectas definidas por sus ecuaciones paramétricas. La recta R tiene como vector director a (1,-1,1) y la recta P a (3,-3,-9), el vector asociado al plano es el producto vectorial entre estos dos vectores.

$v_RxV_P=det\left[\begin{array}{ccc}i&j&k\\1&-1&1\\3&-3&-9\end{array}\right] =i((-1)(-9)-(-3).1)-j(1(-9)-3.1)+k(1(-3)-3(-1))=(12,12,0)$

Ahora las rectas R y P pasan respectivamente por los puntos PR(2,2,5) y PP(2,2,0), con lo que hallo el término independiente del plano reemplazando a cualquiera de ellos en la ecuación del mismo:

$12(2)+12(2)+d=0\\24+24+d=0\\d=-48$

La ecuación del plano queda:

12x+12y-48=0

ó dividiendo ambos miembros por 12

x+y-4=0

Con lo cual el plano solicitado es x+y-4=0

Answer 2

Respuesta:

En cada caso el plano solicitado tiene como ecuación cartesiana:

a) 2x+5y-3z+4=0

b) 6x-y+5z-7=0

c) x+y-4=0

Desarrollo:

La ecuación cartesiana de un plano es la ecuación del mismo en función de las variables 'x', 'y' y 'z' y tiene la forma:

Donde (a,b,c) es el vector asociado al plano siendo este perpendicular al mismo.

a)  las rectas M y N están expresadas en la forma de sus ecuaciones paramétricas. En cada ecuación, los coeficientes que multiplican al parámetro son las coordenadas del vector director de la recta. EN este caso los vectores directores de M y N son:

Si tales rectas están  contenidas en el plano, sus vectores directores son perpendiculares al vector asociado, y además el plano contiene a todo punto de esas rectas. La forma de encontrar un vector perpendicular a dos vectores dados es el producto vectorial:

No se puede hallar el vector asociado por este método porque los vectores directores son paralelos. Pero las rectas M y N pasan por los puntos (1,0,2) y (-2,0,0) respectivamente (obtenido de las ecuaciones paramétricas, donde los términos independientes son las coordenadas de un punto de la recta.)

Con esos puntos puedo definir un vector:

Con este vector vuelvo a intentar hallar el vector asociado:

Me queda que el plano sigue la ecuación:

Los puntos de las rectas tienen que satisfacer la ecuación del plano:

Con lo que la ecuación del plano es 2x+5y-3z+4=0

b) En este caso el plano está definido por un punto y una recta definida como la intersección de dos planos. Podemos por un lado hallar el vector director de la recta como el producto vectorial de los vectores asociados a los planos que la definen como intersección:

Ese vector está contenido junto con la recta en el plano. un punto de la recta, por ejemplo con x=2 sería , que junto con el punto A define otro vector:

Que también está contenido en el plano, por lo que el vector asociado es.

Ahora el punto A pertenece al plano:

6(-1)-1(2)+5(3)+d=0

-6-2+15+d=0

d=-7

Con lo cual la ecuación del plano es  6x-y+5z-7=0.

c) Es una situación análoga al punto (a) ya que contiene a dos rectas definidas por sus ecuaciones paramétricas. La recta R tiene como vector director a (1,-1,1) y la recta P a (3,-3,-9), el vector asociado al plano es el producto vectorial entre estos dos vectores.

Ahora las rectas R y P pasan respectivamente por los puntos PR(2,2,5) y PP(2,2,0), con lo que hallo el término independiente del plano reemplazando a cualquiera de ellos en la ecuación del mismo:

La ecuación del plano queda:

12x+12y-48=0

ó dividiendo ambos miembros por 12

x+y-4=0

Con lo cual el plano solicitado es x+y-4=0