Question

Necesito ayuda con este ejercicio
A continuación se presenta media circunferencia con un rectángulo totalmente inscrito. Este rectángulo azul tiene 12 cm de base y 5 cm de altura. Como se nota en la figura, este rectángulo comparte un lado con un cuadrado más pequeño de color rojo, y ambas figuras quedan inscritas en la semicircunferencia. ¿Qué valor tendrá la diagonal en verde del cuadrado rojo?​

Answer 1

En la figura, la diagonal del cuadrado pequeño inscrito en la circunferencia es de 2,31 cm.

¿Cómo hallar la diagonal del cuadrado?

Si el rectángulo tiene 12 cm de base y 5 cm de altura, y asumimos que el centro de la circunferencia es el punto A, tenemos que la medida AB es 6cm, y además podemos hallar el radio de la circunferencia con la expresión pitagórica:

$AD=AC=\sqrt{(6cm)^2+(5cm)^2}=7,81cm$

El radio de la circunferencia es también la medida AC del triángulo ABC, luego, como en todo cuadrado, la diagonal forma ángulos de 45° con los lados, tenemos $\alpha=90\°+45\°=135\°$.

Esta diagonal BC será igual a la diagonal marcada en verde, y al saber que AB=6 cm, podemos aplicar el teorema del coseno para hallar su longitud:

$AC^2=AB^2+BC^2-2\times AB\times BC\times cos(135\°)\\\\AC^2-AB^2=BC^2-2\times AB\times BC\times cos(135\°)\\\\61-(6cm)^2=BC^2-2.6cm.BC.(-\frac{\sqrt{2}}{2})\\\\BC^2+6\sqrt{2}BC-25=0$

Con estos valores resolvemos la ecuación cuadrática para hallar BC:

$BC=\frac{-6\sqrt{2}\ñ\sqrt{(6\sqrt{2})^2+4.25.1}}{2.1}=\frac{-6\sqrt{2}\ñ\sqrt{72+100}}{2}\\\\BC=2,31cm\\\\BC=-10,8cm$

Aprende más sobre el teorema del coseno en https://brainly.lat/tarea/13130545