Matemáticas, pregunta formulada por JarAnro, hace 1 año

Necesito ayuda con ésta integral.

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Contestado por seeker17
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Tienes la siguiente integral

\displaystyle\int{\sec^{ \frac{3}{2} }(u)\tan(u) du}

podemos considerar una sustitución del tipo

x=\sec(u)

derivamos,

dx=\sec(u)\tan(u)du \\  \\ du=\displaystyle\frac{dx}{\sec(u)\tan(u)}  \\  \\ \textrm{pero sabemos que: }x=\sec(u)\textrm{ entonces tenemos que,} 
  \\  \\ du=\displaystyle\frac{dx}{x\tan(u)}

entonces la integral nos va a quedar

\displaystyle\int{ \frac{x^{ \frac{3}{2}}\tan(u) }{x\tan(u)} }dx =\int{ \frac{x^{ \frac{3}{2} } }{x} }dx

haciendo uso del álgebra con las leyes de los exponentes,  \displaystyle\frac{ x^{m} }{ x^{n} } = x^{m-n}

tenemos que,

 \displaystyle\int{ x^{ \frac{1}{2} } }dx = \frac{ x^{ \frac{1}{2}+1 } }{ \frac{1}{2}+1 } \\  \\ \textrm{es decir,}
 \\  \\  \displaystyle\int{ x^{ \frac{1}{2} } }dx = \frac{ 2 }{ 3}x^{ \frac{3}{2}}

pero debemos volver a la variable original...

\left.\displaystyle\frac{2}{3}\sec^{ \frac{3}{2} }(u) \right|^{ \frac{\pi}{4} }_{0}

ojo, ya cambiado a la variable original podemos evaluar a todo el resultado, pudimos haber cambiado los límties de integración al momento de haber hecho la sustitución... como quieras.

usando el teorema fundamental del cálculo, \displaystyle F(b)-F(a)

entonces,

\displaystyle\left( \frac{2}{3}\sec^{ \frac{3}{2} }\left( \frac{\pi}{4} \right)  \right)-\left(\frac{2}{3}\sec^{ \frac{3}{2} }(0) \right)

ahora si usas una calculadora el resultado se hace muy ´facil, pero en caso de no tenerla podemos hacer lo siguiente,

sabemos que

\displaystyle\sec(x)= \frac{1}{\cos(x)} \textrm{  entonces, podemos decir que }\sec^{ \frac{3}{2} }(x)= \frac{1}{\cos^{ \frac{3}{2} }(u) }

entonces nos queda,

\displaystyle\left( \frac{2}{3} \frac{1}{\cos^{ \frac{3}{2} }\left( \frac{\pi}{4} \right) }\right)-\left( \frac{2}{3} \frac{1}{\cos^{ \frac{3}{2} }\left( 0\right) }\right)

ahora por notación podemos hacer lo siguiente, sabemos que

\displaystyle\cos^{ \frac{3}{2} } (u)=\left(\cos(u)\right)^{ \frac{3}{2} }

entonces,

\displaystyle\left( \frac{2}{3} \frac{1}{\left(\cos\left( \frac{\pi}{4} \right)\right)^{ \frac{3}{2} } }\right)-\left( \frac{2}{3} \frac{1}{(\cos\left( 0\right))^{ \frac{3}{2} } }\right)

lo que si sabemos es que,

\displaystyle\cos\left( \frac{\pi}{4} \right)=\cos(45)= \frac{ \sqrt{2} }{2} \\  \\ \cos(0)=1

entonces,

\left( \frac{2}{3} \frac{1}{\left( \frac{ \sqrt{2} }{2} \right)^{ \frac{3}{2} } }\right)-\left( \frac{2}{3} \frac{1}{(1)^{ \frac{3}{2} } }\right)

bueno ahora si sería bueno que te consigas una calculadora jaja...en fin, te va a quedar que,

0,45453...

y eso sería todo espero te sirva y si tienes alguna duda me avisas

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