Question

necesecito ayuda con una practica de matematica!!!!

Answer 1

Hola,

Sea A = (4,2,4) ; B = (8,0,6),

1.) El producto cruz entre ambos crea un vector ortogonal, o sea perpendicular a ambos vectores, este se puede calcular con el determinante:


$\begin{vmatrix} i & j & k \\ 4 & 2 & 4 \\ 8 & 0 & 6 & \\ \end{vmatrix} = (2\cdot 6 - 0 \cdot 4)i - (4 \cdot 6 - 8 \cdot 4)j + (4\cdot 0 - 8 \cdot 2)k \\ \\ \begin{vmatrix} i & j & k \\ 4 & 2 & 4 \\ 8 & 0 & 6 & \\ \end{vmatrix} = 12i + 8j - 16k = (12,8,-16)$

Lo pongo de una manera más general para que puedas hacer los ejercicios de producto cruz, si los vectores por ejemplo son, A = (x₁ , x₂ , x₃) y B = (y₁,y₂,y₃) , el nuevo vector será:

$\begin{vmatrix} i & j & k \\ x_{1} & x_{2} & x_{3} \\ y_{1} & y_{2} & y_{3} & \\ \end{vmatrix}= (x_{2} \cdot y_{3} - y_{2}\cdot x_{3}),( x_{1} \cdot y_{3} - y_{1} \cdot x_{3}),(x_{1} \cdot y_{2} - y_{1}\cdot x_{2})$

Si sustituyes los valores de los vectores A y B te dará el resultado de una manera más facil.

2.)

Este es más sencillo, multiplicas componente por componente y sumas cada una :

(4,2,4) * ( 8,0,6) = ( 4*8 + 2*0 + 4*6) = 56

3.)

Cuando multiplicas un número al vector, cada componente se multiplicará por ese factor:

4(4,2,4) = (4*4 , 4*2 , 4*4) = (16,8,16)


4)

Para el ángulo entre los vectores puedes ocupar el coseno, cuya expresión está dado por :

$cos \theta = \frac{\overrightarrow{A} \cdot \overrightarrow{B}}{|| \overrightarrow{A}|| \cdot ||\overrightarrow{B}||}$

Ya tenemos el valor del producto punto ( A * B ) , falta calcular el producto de los módulos, el módulo es la raíz de la suma de todas las componentes al cuadrado,

$||\overrightarrow{A}|| = \sqrt{4^2 + 2^2 + 4^2} = \sqrt{36} = 6 \\ \\ ||\overrightarrow{B}|| = \sqrt{8^2 + 0^2 + 6^2} = \sqrt{100} = 10$

Así, el ángulo es:

$cos \theta = \frac{\overrightarrow{A} \cdot \overrightarrow{B}}{|| \overrightarrow{A}|| \cdot ||\overrightarrow{B}||} = \frac{56}{60}$

$\theta = cos^{-1}(\frac{56}{60}) \\ \\ \boxed{\theta = 21,03 \°}$

Recordar,
Producto cruz ( ejercicio 1) se origina un nuevo vector,
Producto punto (ejercicio 2) el resultado es un número, un escalar.
Cuando multiplicas un número a un vector, cada componente del vector se multiplica por tal numero.(ejercicio 3)
El módulo de un vector es la raíz de la suma de todas las componentes al cuadrado,(ejercicio 4), con esto es posible calcular el ángulo con la función coseno.

Salu2 :).