Question

(n-2)^(n-2) ^2 =2, hallar "n"

Answer 1

Es una ecuación llamada trascendente. No existe una forma algebraica que la resuelva.

Se crea una función: f(n) = (n - 2)^(n - 2)^2 - 2

Utilizando un procesador simbólico se realiza el gráfico de la función, que se adjunta.

En él se aprecia (en el cero) que n ≅ 3,412.

Mateo

Answer 2

Respuesta:

$n=2+\sqrt{2}$

o también 3.41421356

Explicación paso a paso:

Para facilitar las operaciones vamos a hacer una sustitución de (n-2) por "X",  y luego, al finalizar hacemos el correspondiente reemplazo.

En aplicación de lo dicho reescribimos el ejercicio y nos queda así:

$X^{X^{2}}=2$

Ahora elevemos ambos miembros de la igualdad, al cuadrado:

$(X^{X^{2}})^{2} =2^{2}$

Aplicamos propiedades de exponentes (teoría de exponentes) y transformamos el miembro izquierdo de la igualdad, así:

$X^{X^{2}*2}=2^{2}$

Lo reescribimos, porque el orden de factores no altera el producto:

$X^{2*X^{2}}=2^{2}$

Reescribimos nuevamente la expresión de la izquierda:

$(x^{2})^{X^{2}}=2^{2}$

Observamos los dos términos de la igualdad, sus respectivas bases y exponentes y encontramos que en ambas expresiones $X^{2}=2$

Por tanto, procedemos a despejar X:

$X^{2}=2\\X=\sqrt{2}$

Ahora podemos hacer el reemplazo o sustitución de X por n-2

$n-2=\sqrt{2}\\n=\sqrt{2}+2\\n=2+\sqrt{2}$

Raíz de 2 es 1.41421356, por tanto

$n=2+1.41421356\\n=3.41421356$

PRUEBA

Sustituimos n por su valor en la ecuación inicial y comprobamos si la igualdad es verdadera:

$(2+\sqrt{2}-2)^{(2+\sqrt{2}-2)^{2}}=$

De arriba hacia abajo: 2 - 2 es cero; el cuadrado elimina la raíz y queda sólo el 2 como exponente.

Esto se repite en la expresión de abajo y queda sólo el 2 = 2