Question

Muy buenas me podrían ayudar a resolver este ejercicio.

Se lanza un proyectil con 40° de inclinación respecto a la horizontal con una rapidez de expulsión de 94 m/s. Determine:

a) La altura (h) desde donde fue lanzado el proyectil.
b) La altura máxima a partir del punto de lanzamiento.
c) La velocidad en la altura máxima.
d) La distancia horizontal recorrida hasta el punto de la altura máxima.
e) La velocidad de impacto en el suelo y exprésela vectorialmente (magnitud, dirección y sentido).
f) El tiempo total de vuelo

Answer 1

¡Buenas!

Tema: Cinemática

$\textbf{Problema :}$

Se lanza un proyectil con 40° de inclinación respecto a la horizontal con una rapidez de expulsión de 94 m/s. Encuentre la altura $h$ desde donde fue lanzado el proyectil, la altura máxima a partir del punto de lanzamiento, la velocidad en la altura máxima, la distancia horizontal recorrida hasta el punto de la altura máxima, la velocidad de impacto en el suelo y exprésela vectorialmente, el tiempo total de vuelo.

RESOLUCIÓN

Notemos que la distancia horizontal recorrida por el proyectil hasta llegar al suelo es de 1000 metros, descomponiendo el vector velocidad nos percatamos que la velocidad horizontal es la siguiente $\overline{v}_{x} = 94\ \boldsymbol{cos}(40)$ y esta no varia con el tiempo, se mantiene constante. Aprovechemos esto, digamos que desde la posición inicial del móvil hasta tocar el suelo luego ha transcurrido un tiempo $\Delta t$.  El desplazamiento horizontal viene dado por.

                                          $\Delta x = {v}_{x} \cdot \Delta t$

Entonces

                                        $1000 = 94 \cdot \boldsymbol{cos}(40) \cdot \Delta t$

Se concluye

                                        $\Delta t \approx 13.88\ \textrm{segundos}$

Es decir el tiempo total de vuelo fue de aproximadamente 13.88 segundos

Con esto se respondió una de las muchas interrogantes, sigamos analizando el problema.

Encontremos la altura máxima respecto al punto de lanzamiento.

Recordando la fórmula para hallar la altura máxima la cual es.

                                     $\boxed{H_{\textrm{max}} = \dfrac{v^{2}_{0} \cdot \boldsymbol{sen}^{2}( \theta)}{2g}}$

Asumiendo $g=10$

                                     $H_{\textrm{max}} = \dfrac{94^{2} \cdot \boldsymbol{sen}^{2}(40)}{2(10)}$

Haciendo los cálculos.

                                      $H_{\textrm{max}} \approx 182.54\ \textrm{m}$

Usando nuevamente otra fórmula para hallar la distancia horizontal recorrida desde su lanzamiento hasta la altura máxima.

                                      $\boxed{D = \dfrac{v^{2}_{0} \boldsymbol{sen}(2 \theta)}{2g}}$

                                      $D = \dfrac{94^{2} \boldsymbol{sen}(2 \times 40)}{2(10)}$

                                      $D = 435.08\ \textrm{m}$

Se concluye que esta es la distancia horizontal recorrida desde su punto de lanzamiento hasta la llegar a la altura máxima.

Ahora consideremos que luego de un cierto tiempo, el proyectil se encuentra nuevamente en la altura $h$, diremos que en el punto $\textrm{A}$ ocurre esto. Aprovechemos esto para encontrar la altura en la que fue lanzado el proyectil.

La velocidad del proyectil en el punto $\textrm{A}$ es $v_{x} = 94\ \boldsymbol{cos}(40)$ y $v_{y} = -94\ \boldsymbol{sen}(40 \°)$. Debido a que la distancia horizontal recorrida desde su punto de lanzamiento hasta llegar al punto $\textrm{A}$ es $2D$ es decir $870.16\ \textrm{m}$ entonces queda por recorrer $129.84\ \textrm{m}$. Encontrando el tiempo que tarda de ir desde $\textrm{A}$ hasta tocar suelo.

                                           $129.84 = 94\ \boldsymbol{cos}(40) \times \Delta t$

                                           $\Delta t \approx 1,80\ \textrm{segundos}$

Se concluye que tardó aproximadamente 1,80 segundos de ir desde $\textrm{A}$ hasta tocar el piso.

Apoyémonos de estos resultados para encontrar la altura desde donde se lanzó el proyectil, analizando el movimiento vertical del proyectil.

                                       $\boxed{h = v_{y_{0}} \cdot \Delta t + \dfrac{1}{2} g (\Delta t)^{2}}$

                                       $h = 94\ \boldsymbol{sen}(40) \cdot 1.8 + \dfrac{1}{2} 10 (1.8)^{2}$

                                       $h \approx 124.96\ \textrm{m}$

Se concluye que se lanzo desde una altura de 124.96 metros.

Ahora encontremos la velocidad de impacto en el suelo apoyándonos en la siguiente fórmula.

                                       $\boxed{ \overline{v}_{f} = \overline{v}_{0} + \overline{g} \cdot \Delta t}$

Debido a que la velocidad solo varia en su componente vertical.

                                       $\overline{v}_{y} = - (94\ \boldsymbol{sen}(40) + 10 \cdot 1.8)$              

                                       $\overline{v}_{y} \approx -78,42$

Con lo cual las componentes de la velocidad final son $\overline{v}_{x} = 94\ \boldsymbol{cos}(40)$ y $\overline{v}_{y} = -78,42$

La velocidad vertical del proyectil en la altura máxima es nula pero su velocidad horizontal se mantiene constante en todo momento, por tanto, la velocidad del proyectil en su altura máxima es $\overline{v}_{x} = 94\ \boldsymbol{cos}(40)$.