Question

Muy buen día!

Me preguntaba si podrían ayudarme a resolver estos tres ejercicios por factor de integración:

1.- ( x + y/x ) dx - dy = 0

2.- ( 3 y/x - 8 )dx + 3dy = 0

3.- ( sen y - y sen x )dx + ( cos x + x cos y - y )dy = 0

Answer 1

Se encuentra la solución de la ecuación diferencial haciendo uso del factor integrante

$(\frac{x+y}{x}) dx - dy = 0$

$(\frac{x+y}{x}) dx = dy$

$\frac{x+y}{x}= \frac{dy}{dx} = y'$

$\frac{x+y}{x} - y' = 0$

$y' - \frac{x+y}{x} = 0$

$y' -1 + \frac{y}{x} = 0$

$y' - \frac{1}{x} y = 1$

Q(x) = 1

P(x) = 1/x

Factor integrante:  $e^{\int{\frac{1}{x}} \, dx} = e^{ln(x)} = x$

μ(x) = x

Solución:

$y(x) = \frac{1}{\mu(x)} *\int {\mu(x)*q(x)dx} \, + C$

$y(x) = \frac{1}{x} *\int {x*1dx} \, + C = \frac{1}{x}*\frac{x^{2} }{2} + C = \frac{x}{2} + C$