Question

Mustafa está volando una cometa y Ana lo observa a 20 m de distancia, como se muestra. Desde la perspectiva de Ana hay un ángulo de 109° entre Mustafa y su cometa. La longitud de la cuerda entre Mustafa y la cometa es de 46 m. Mustafa 46 m A Ana ? 20 m Cometa 109° Desde la perspectiva de Mustafa, ¿cuál es el ángulo entre Ana y la cometa? No redondees durante tus cálculos. Redondea tu respuesta final al grado más cercano.​

Answer 1

Desde la perspectiva de Mustafa el ángulo entre Ana y la cometa es de 47°        

Se trata de un problema trigonométrico en un triángulo cualquiera

Para resolver triángulos no rectángulos como el de este problema emplearemos el teorema del seno- también llamado como ley de senos-    

Teorema del Seno:

El teorema del seno establece una relación de proporcionalidad existente entre las longitudes de los lados de un triángulo cualquiera con los senos de sus ángulos interiores opuestos.

Dado un triángulo ABC cualquiera con lados a, b y c y con ángulos interiores α, β y γ, siendo estos respectivamente opuestos a los lados,

Entonces se cumple la relación:

$\large\boxed { \bold { \frac{a}{ sen( \alpha )} = \frac{b}{ sen(\beta ) } = \frac{c}{sen(\gamma)} }}$

Representamos la situación en un triángulo ABC: en donde en el vértice A se ubica Ana, en el B la cometa y en el C Mustafa. Estando el triángulo conformado por el lado BC (a) que representa la longitud de la cuerda entre Mustafa y la cometa, el lado AC (b) equivale a la distancia horizontal entre Ana y Mustafa. Donde ambas magnitudes se conocen. Teniendo finalmente el lado AB (c) que es la distancia en línea recta entre Ana y la cometa, de la cual no se pide hallar su valor. Y donde conocemos que desde la perspectiva de Ana hay un ángulo de 109° entre Mustafa y su cometa

Donde se pide hallar

Desde la perspectiva de Mustafa, el ángulo entre Ana y la cometa

Denotamos al ángulo A dado por enunciado de 109° como α

Hallamos el ángulo B -desde la cometa hasta las posiciones de Mustafa y Ana- al cual denotamos como β

$\large\boxed { \bold { \frac{a}{sen(\alpha) } = \frac{b}{sen(\beta )} }}$

$\boxed { \bold { \frac{a}{ sen(A ) } = \frac{b}{sen(B)} }}$

$\large \textsf{Reemplazamos y resolvemos }$

$\boxed { \bold { \frac{46 \ m}{ sen(109^o ) } = \frac{20 \ m }{ sen( B ) } }}$

$\boxed { \bold { sen(B )= \frac{20 \not m \ . \ sen( 109^o ) }{46 \not m } }}$

$\boxed { \bold { sen(B )= \frac{ 20\ . \ sen( 109^o ) }{ 46} }}$

$\boxed { \bold { sen(B )= \frac{ 20 \ . \ 0.945518575599 }{ 46 } }}$

$\boxed { \bold { sen(B )= \frac{ 18.91037151198 }{ 46 } }}$

$\boxed { \bold { sen(B )=0.411095032869 }}$

$\textsf{Aplicamos la inversa del seno para hallar el \'angulo}$

$\boxed { \bold {B =arcsen (0.411095032869 ) }}$

$\boxed { \bold { B = 24.27^o }}$

$\large\boxed { \bold { B=24^o }}$

El valor del ángulo B (β) -desde la cometa hasta las posiciones de Ana y Mustafa es de 24°

Determinamos el ángulo C- que resulta ser desde la perspectiva de Mustafa el ángulo entre Ana y la cometa, al cual denotamos como γ

Por enunciado sabemos el valor de uno de los ángulos del triángulo y hemos hallado el segundo. Vamos a determinar el valor del tercer ángulo del triángulo.

Como la suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a dos rectos, es decir a 180°

Planteamos:

$\boxed {\bold { 180^o =A+ B + C } }$

$\boxed {\bold { 180^o =C+ A + B } }$                      

$\boxed {\bold { 180^o =C +109^o + 24^o } }$

$\boxed {\bold { C = 180^o -109^o- 24^o } }$                              

$\large\boxed {\bold { C =47^o } }$

Por tanto desde la perspectiva de Mustafa el ángulo entre Ana y la cometa es de 47°

Se adjunta gráfico para mejor comprensión de las relaciones entre los lados y los ángulos planteados