Question

multiplicadores de lagrange
f(x,y)=xy, sujeta 〖2x〗^2+3y^2=1

Answer 1

1. Escribamos la función de Lagrange

$L(x,y,\lambda)=xy-\lambda(2x^2+3y^2-1)\to (\textit{o puede ser +\lambda tambi\'en} )$

2. Encontremos los puntos estacionarios

$L_x=y-4\lambda x=0\to \lambda =\dfrac{y}{4x}\\ \\ \\L_y=x-6\lambda y=0\to \lambda =\dfrac{x}{6y}\\ \\  \\\text{Igualando tenemos: }4x^2-6y^2=0 \iff 2x^2-3y^2=0\text{ y con la ecuaci\'on de }\\\text{enlace se obtienen los puntos}\\\\(x,y,\lambda)\in\left\{(-\dfrac{1}{2},-\dfrac{1}{\sqrt{6}},\dfrac{2}{\sqrt{6}});(-\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{\sqrt{6}},-\dfrac{2}{\sqrt{6}});(\dfrac{1}{2},-\dfrac{1}{\sqrt{6}},-\dfrac{2}{\sqrt{6}});(\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{\sqrt{6}},\dfrac{2}{\sqrt{6}})\right\}$

3. Buscando extremos.

$\text{Sea }y=y(x)\text{ entonces }\\f_x=y+xy'\to f_{xx}=2y'+xy''\\ \\\text{De la ecuaci\'on de enlace }2x^2+3y^2=1\\4x+6yy'=0\to \text{derivamos con respecto a x }\\\\y'= -\dfrac{2x}{3y}\\\\4+6(y')^2+6yy''=0\to \text{derivamos con respecto a x }\\\\4+6(-\dfrac{2x}{3y})^2+6yy''=0\\ \\ \\2+\dfrac{4x^2}{3y^2}+3yy''=0\\ \\ \\y''=-\dfrac{2}{3y}-\dfrac{4x^2}{9y^3}$

$\text{en el punto }(-\frac{1}{2},-\frac{1}{\sqrt{6}}): y'' = \dfrac{4\sqrt{6}}{3}>0\to\text{punto de m\'inimo}\\ \\ \\\text{en el punto }(-\frac{1}{2},\frac{1}{\sqrt{6}}): y'' = -\dfrac{4\sqrt{6}}{3}<0\to\text{punto de m\'aximo}\\ \\ \\\text{en el punto }(\frac{1}{2},-\frac{1}{\sqrt{6}}): y'' = \dfrac{4\sqrt{6}}{3}>0\to\text{punto de m\'inimo}\\ \\\\\text{en el punto }(\frac{1}{2},\frac{1}{\sqrt{6}}): y'' =- \dfrac{4\sqrt{6}}{3}<0\to\text{punto de m\'aximo}$