muestre la relación t^2+Cy^2=1, es solución de la ecuación diferencial dy/dt= t y /t^2-1
Respuestas a la pregunta
Respuesta:
La solución de la ecuación diferencial es y=x
Explicación paso a paso:
La ecuación se puede resolver por separación de variables, pasándola en limpio queda:
\frac{dy}{dx}=\frac{y^2-1}{x^2-1}
dx
dy
=
x
2
−1
y
2
−1
Efectuamos la separación de variables y queda:
\frac{dy}{y^2-1}=\frac{dx}{x^2-1}
y
2
−1
dy
=
x
2
−1
dx
La única forma de proseguir es la descomposición en ambos miembros en fracciones simples.
\begin{gathered}\frac{1}{x^2-1}=\frac{1}{(x+1)(x-1)}=\frac{A}{x+1}+\frac{B}{x-1}\\\\A(x-1)+B(x+1)=1\\Ax+Bx=0= > A+B=0\\B-A=1\end{gathered}
x
2
−1
1
=
(x+1)(x−1)
1
=
x+1
A
+
x−1
B
A(x−1)+B(x+1)=1
Ax+Bx=0=>A+B=0
B−A=1
Nos queda resolver el sistema de ecuaciones, si sumamos ambas nos queda:
\begin{gathered}2B=1\\\\B=\frac{1}{2}\end{gathered}
2B=1
B=
2
1
Y si las restamos queda:
\begin{gathered}2A=-1\\A=-\frac{1}{2}\end{gathered}
2A=−1
A=−
2
1
La ecuación diferencial queda:
\begin{gathered}(\frac{-1/2}{x+1}+\frac{1/2}{x-1})dx=(\frac{-1/2}{y+1}+\frac{1/2}{y-1})dy\\\\(\frac{-1}{x+1}+\frac{1}{x-1})dx=(\frac{-1}{y+1}+\frac{1}{y-1})dy\end{gathered}
(
x+1
−1/2
+
x−1
1/2
)dx=(
y+1
−1/2
+
y−1
1/2
)dy
(
x+1
−1
+
x−1
1
)dx=(
y+1
−1
+
y−1
1
)dy
Si integramos en ambos miembros queda:
\begin{gathered}-ln(\frac{1}{x+1})+ln(\frac{1}{x-1})+C_1=-ln(\frac{1}{y+1})+ln(\frac{1}{y-1})+C_2\\\\ln(x+1)-ln(x-1)+C_1=ln(y+1)-ln(y-1)+C_2\\\\\frac{x+1}{x-1}.C=\frac{y+1}{y-1}\end{gathered}
−ln(
x+1
1
)+ln(
x−1
1
)+C
1
=−ln(
y+1
1
)+ln(
y−1
1
)+C
2
ln(x+1)−ln(x−1)+C
1
=ln(y+1)−ln(y−1)+C
2
x−1
x+1
.C=
y−1
y+1
Ahora despejamos 'y':
\begin{gathered}(y-1)(\frac{x+1}{x-1}.C)=y+1\\\\y.C(\frac{x+1}{x-1})-(\frac{x+1}{x-1}).C=y+1\\\\y.C(\frac{x+1}{x-1}})-y=1+\frac{x+1}{x-1}.C\\\\y=\frac{1+\frac{x+1}{x-1}.C}{\frac{x+1}{x-1}.C-1}\\\\y=\frac{x(1+C)+C-1}{x(C-1)+1+C}\end{gathered}
La función quedó con esa expresión, ahora queda hallar el valor de la constante C:
\begin{gathered}2=\frac{2(1+C)+C-1}{2(C-1)+1+C}\\\\2=\frac{2+2C+C-1}{2C-2+1+C}=\frac{1+3C}{3C-1}\\\\6C-2=3C+1\\C=1\end{gathered}