Question

Miércoles 28 de abril
3
ASIGNATURA: Matemáticas
Tema: Magia con matemáticas
Instrucciones: Resuelve la siguiente:
La clave secreta
Encuentra la clave Que abre el
candado, usando las siguientes pistas
70 8 2 Tres dígitos en común y dos
estan en la posición correcta
9 1 5 8 Dos dícitos en común y están
en la posición equivocada.
209 3 están en la posición correcta
Tres dígitos en común y dos
76 3 5 Ningún dícito en común
¿La clave es?
es? OOOO​

Answer 1

Respuesta:

La clave es 30094.

Explicación paso a paso:

<3

Answer 2

Con las pistas que nos dan, podemos reducir la clave secreta que abre el candado a sólo dos opciones:

• 2089
• 8092.

Aunque lo llamemos "magia con matemáticas", lo que estamos haciendo en realidad es un ejercicio de permutaciones. Veamos:

Quizás lo primero que nos viene a la mente en este tipo de situaciones es ¿Cómo combinar estos números?, es decir, hacer una combinación o combinatoria, pero en realidad, como mencionamos arriba, se trata de una permutación .

Combinatoria y Permutaciones

En una combinación, se tiene un grupo total de $m$ elementos, de los cuales se hacen conjuntos o agrupaciones de $n$ elementos, de forma que:

• No se consideren todos los elementos en cada conjunto, es decir $n\leq m$
• No importa el orden de los elementos, $abc=acb=bca=bac=cba=cab$

Por su parte, en una permutación, se determina el número de formas en las que $m$ elementos se pueden ordenar ocupando $n$ posiciones, de forma que

• Pueden tomarse, o no, el total de elementos, siempre que $n\leq m$
• Si importa el orden de los elementos. Esta vez $ab\neq ba$
• No se repiten elementos.

¿Cómo determinamos el número de permutaciones?

Para el cálculo de una permutación, se utiliza una fórmula ya determinada

$P=\frac{m!}{(m-n)!}$,

Donde $P$ es el número de permutaciones, $m$ es el conjunto de elementos, y $n$ es el número de posiciones.

Utilizando esta fórmula, si consideramos 10 nuestro número de elementos (números del 0 al 9), para ordenarlos en 4 posiciones (los 4 dígitos de nuestra clave), tendremos:

$P=\frac{10!}{(10-4)!} =\frac{10!}{6!} =10*9*8*7=5040$

5040 arreglos posibles!!, pero podremos reducir esto gracias a nuestras pistas.

• La cuarta pista nos indica: 7635, ningún dígito en común. Eso reduce nuestro universo a sólo 6 opciones, para elegir 4.
• La primera pista nos dice que en 7082 hay tres dígitos en común, de los cuales dos están en posición correcta. Pero ya sabemos, de arriba, que el 7 no es un número a utilizar, por tanto, tenemos de acá sólo tres conjuntos posibles

1. 208x (si 0 y 8 están en posición correcta, el 2 no puede estarlo)
2. 80x2 (si 0 y 2 están en posición correcta, el 8 no puede estarlo)
3. 0x82 (si 8 y 2 están en posición correcta, el 0 no puede estarlo)

• La tercera pista nos dice: 2093 tiene tres dígitos en común, de los cuales dos están en posición correcta. Sabemos que el 3 no se encuentra entre las opciones a considerar, por tanto, al igual que la pista anterior, sólo nos quedan tres conjuntos posibles

1. 20y9
2. 2y90
3. y092

De acá tenemos determinamos cuales son nuestros cuatro números: el 2, el 0, el 8 y el 9. Por tanto, para definir nuestros conjuntos basta con cambiar la $x$ por 9, es el número que falta arriba, y la $y$ por 8, es el número que falta abajo.

La solución está cruzando ambos conjuntos, por una lado tenemos

• 2089
• 8092
• 0982

y por el otro

• 2089
• 2890
• 8092

Los que no coinciden en ambas soluciones, deben salir, los que coincidan se quedan, y estos son 2089 y 8092.

Ahora, ¿Qué hay con la segunda pista?,

Esta nos dice que en 9158 hay dos dígitos en común, pero están en posición equivocada. Estos dos dígitos son el 8 y el 9 (que se encuentran en nuestras dos opciones), y están en posición equivocada (no se encuentra el 9 de primero ni el 8 de último en ninguna de nuestras opciones), por tanto, esta pista no nos ayuda a dilucidar cual de las dos opciones es la ganadora, aunque, reducir de 5040 a sólo 2 opciones, es bastante bueno, no?.

Para más información sobre permutaciones y combinaciones visita https://brainly.lat/tarea/55259481