Miércoles 28 de abril
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ASIGNATURA: Matemáticas
Tema: Magia con matemáticas
Instrucciones: Resuelve la siguiente:
La clave secreta
Encuentra la clave Que abre el
candado, usando las siguientes pistas
70 8 2 Tres dígitos en común y dos
estan en la posición correcta
9 1 5 8 Dos dícitos en común y están
en la posición equivocada.
209 3 están en la posición correcta
Tres dígitos en común y dos
76 3 5 Ningún dícito en común
¿La clave es?
es? OOOO
Respuestas a la pregunta
Respuesta:
La clave es 30094.
Explicación paso a paso:
<3
Con las pistas que nos dan, podemos reducir la clave secreta que abre el candado a sólo dos opciones:
- 2089
- 8092.
Aunque lo llamemos "magia con matemáticas", lo que estamos haciendo en realidad es un ejercicio de permutaciones. Veamos:
Quizás lo primero que nos viene a la mente en este tipo de situaciones es ¿Cómo combinar estos números?, es decir, hacer una combinación o combinatoria, pero en realidad, como mencionamos arriba, se trata de una permutación .
Combinatoria y Permutaciones
En una combinación, se tiene un grupo total de elementos, de los cuales se hacen conjuntos o agrupaciones de
elementos, de forma que:
- No se consideren todos los elementos en cada conjunto, es decir
- No importa el orden de los elementos,
Por su parte, en una permutación, se determina el número de formas en las que elementos se pueden ordenar ocupando
posiciones, de forma que
- Pueden tomarse, o no, el total de elementos, siempre que
- Si importa el orden de los elementos. Esta vez
- No se repiten elementos.
¿Cómo determinamos el número de permutaciones?
Para el cálculo de una permutación, se utiliza una fórmula ya determinada
,
Donde es el número de permutaciones,
es el conjunto de elementos, y
es el número de posiciones.
Utilizando esta fórmula, si consideramos 10 nuestro número de elementos (números del 0 al 9), para ordenarlos en 4 posiciones (los 4 dígitos de nuestra clave), tendremos:
5040 arreglos posibles!!, pero podremos reducir esto gracias a nuestras pistas.
- La cuarta pista nos indica: 7635, ningún dígito en común. Eso reduce nuestro universo a sólo 6 opciones, para elegir 4.
- La primera pista nos dice que en 7082 hay tres dígitos en común, de los cuales dos están en posición correcta. Pero ya sabemos, de arriba, que el 7 no es un número a utilizar, por tanto, tenemos de acá sólo tres conjuntos posibles
- 208x (si 0 y 8 están en posición correcta, el 2 no puede estarlo)
- 80x2 (si 0 y 2 están en posición correcta, el 8 no puede estarlo)
- 0x82 (si 8 y 2 están en posición correcta, el 0 no puede estarlo)
- La tercera pista nos dice: 2093 tiene tres dígitos en común, de los cuales dos están en posición correcta. Sabemos que el 3 no se encuentra entre las opciones a considerar, por tanto, al igual que la pista anterior, sólo nos quedan tres conjuntos posibles
- 20y9
- 2y90
- y092
De acá tenemos determinamos cuales son nuestros cuatro números: el 2, el 0, el 8 y el 9. Por tanto, para definir nuestros conjuntos basta con cambiar la por 9, es el número que falta arriba, y la
por 8, es el número que falta abajo.
La solución está cruzando ambos conjuntos, por una lado tenemos
- 2089
- 8092
- 0982
y por el otro
- 2089
- 2890
- 8092
Los que no coinciden en ambas soluciones, deben salir, los que coincidan se quedan, y estos son 2089 y 8092.
Ahora, ¿Qué hay con la segunda pista?,
Esta nos dice que en 9158 hay dos dígitos en común, pero están en posición equivocada. Estos dos dígitos son el 8 y el 9 (que se encuentran en nuestras dos opciones), y están en posición equivocada (no se encuentra el 9 de primero ni el 8 de último en ninguna de nuestras opciones), por tanto, esta pista no nos ayuda a dilucidar cual de las dos opciones es la ganadora, aunque, reducir de 5040 a sólo 2 opciones, es bastante bueno, no?.
Para más información sobre permutaciones y combinaciones visita https://brainly.lat/tarea/55259481
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